Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.6. Аномальная дивергенция аксиального тока

Можно показать, что аномалии треугольной диаграммы, которые обсуждались в терминах неканонических коммутаторов и модифицированных тождеств Уорда, ведут таюке к модифицированному уравнению для дивергенции нейтрального калибровочно-инвариантного аксиального тока

Здесь наивное выражение для дивергенции, получаемое с помощью уравнений движения изучаемой модели.

Рассмотрим фермионную часть аксиального тока:

Так как известно, что одновременной антикоммутатор с содержит трехмерную -функцию, то следует ожидать, что предел сингулярен. Поэтому определение (4.46) для заведомо сингулярно. Для регуляризации этой особенности вводится малая раздвижка аргументов в исходном определении

При наличии электромагнетизма определение (4.47а) не является калибровочно-инвариантным. (При вычислениях в низшем порядке по электромагнетизму всегда считаем потенциал заданным внешним полем.) Если электромагнитный потенциал А заменить

на с произвольным , а фермионные поля заменить соответственно на то ничто не должно меняться в величинах, имеющих физический смысл. Формула (4.47а) не обладает этим свойством. Можно построить модифицированное выражение, которое будет калибровочно-инвариантным:

Для калибровочной инвариантности параметр а в (4.476) следует положить равным единице. Однако временно сохраним его неопределенным. Локальный физический ток получается при малом после усреднения по направлениям и взятия предела Этот метод определения сингулярных произведений операторов называется техникой раздвижки аргументов.

Вычислим теперь дивергенцию тока (4.476). Для этого нужны уравнения движения для Будем считать, что есть взаимодействие только с внешним электромагнитным полем. Более общие взаимодействия рассмотрены в литературе [10]. Итак,

В силу (4.48) дивергенция равна

Здесь формула для регуляризованной наивной дивергенции тока в этой модели после введения раздвижки.

Из (4.49) получается обычный наивный результат если положите формально равным нулю и отбросить последний член в (4.49). Это вполне законно, когда имеет гладкое поведение при В то же время если матричный элемент расходится при то может остаться конечная величина. Так как имеет размерность то можно ожидать даже кубичную расходимость. Однако псевдовекторный характер уменьшает степень расходимости на два, и остается возможной только линейная расходимость. Покажем, что такая расходимость действительно существует и меняет наивную формулу для

Рассмотрим вакуумное среднее

Вакуумный матричный элемент не исчезает при наличии внешнего электромагнитного поля. Для последнего члена

в (4.50) имеем

Рис. 3. Пропагатор фермиона во внешнем поле

Здесь введена функция распространения фермиона во внешнем поле При записи уравнения было взято положительным.

Для имеется разложение по степеням А, которое можно просуммировать графически (рис. 3).

Двойная линия изображает простая линия — свободный пропагатор фермиона а знак взаимодействие с внешним полем. При ведет себя как Поэтому последовательные члены в ряде для ведут себя при как Для наших расчетов нужны члены, не исчезающие при малых после умножения на Следовательно, получаем:

В силу -инвариантности интересен только линейный по А член в Он имеет следующее импульсное представление:

Следовательно, (4.51) приобретает вид

Последнее равенство получается после интегрирования по частям. Положим теперь равным нулю. Интеграл по есть поверхностный член, и он легко вычисляется симметричным методом, разобранным в упражнениях. Остающийся интеграл по является обратным преобразованием Фурье Окончательным результатом для (4.54а) будет

Тогда, возвращаясь к (4.51) и устремляя к нулю, получаем

Когда взято калибровочно-инвариантное определение тока дивергенция аксиального тока содержит аномальный член. Наивное уравнение для дивергенции аксиального тока получается, если поступиться калибровочной инвариантностью и взять Можно привести простой эвристический аргумент, объясняющий происхождение этого аномального члена в дивергенции. Рассмотрим наивный аксиальный ток модели, обсуждаемой в этой главе. Чтобы обеспечить калибровочную инвариантность, введем регуляризующее поле Паули — Вилларса и соответственно регуляризованный аксиальный ток:

Ток строится из регуляризующего поля так же, как ток построен из обычных полей. Физический аксиальный ток воспроизводится, если устремить массу регуляризующего поля к бесконечности. Дивергенция (4.56а) равна

Когда вклад регуляризующего поля в (4.566) может иметь конечный остаток, если матричные элементы ведут себя при больших как Подробные расчеты показывают, что именно так и происходит.

Заметим, что аномальная дивергенция не влияет непосредственно на предыдущий вывод теоремы Сазерленда — Вельтмана для распада Амплитуда даваемая формулой (4.3), имеет порядок Следовательно, в порядке не требуется никаких модификаций Как было показано, аномалии возникают из коммутаторов и контактного члена. Несмотря на это, можно использовать аномальное уравнение дивергенции для альтернативного вывода правильной теоремы Сазерленда — Вельтмана [11]. При этом фотоны не редуцируются из начального состояния и (4.2) дает совместно с (4.45)

Последний член в дивергенция калибровочно-инва-риантного трехиндексного псевдотензора. Следовательно, к нему применимы первоначальные аргументы Сазерленда Вельтмана и он не дает вклада в Заметим, что в этом выводе не нужно дифференцировать -произведения и не нужно обращаться к коммутаторам. Матричный элемент аномалии можно вычислить в наинизшем порядке по электромагнетизму. Он равен

Следовательно, как и раньше,

Этот пример показывает, что аномалии в коммутаторах, которые присутствуют в исходном выводе, и аномальная дивергенция тесно связаны друг с другом,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление