Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2. Вывод правил сумм. Наивный метод

Выведем теперь два правила сумм, которые будут объектом нашего обсуждения. Рассмотрим компоненту (5.2) в системе отсчета, где вектора параллельны: Так как исходное выражение и конечный результат ковариантны, то выбор определенной системы отсчета не приводит к потере общности. Перейдем теперь в глубоконеупругую область, устремив при с условием так чтобы Тогда

В этом пределе растет как Из (5.2) имеем

Здесь вектор заменен вектором Во второй скобке член доминирует над так как растет, а фиксировано. Также

Тогда в глубоконеупругом пределе можно использовать следующее выражение для

Далее, заменим на на и получим

Альтернативная формула для в глубоконеупругой области следует из (5.1):

Комбинируя (5.5) с (5.4в) и интегрируя по имеем

Это и есть то правило сумм [3] для ШЧ, которое упоминалось в гл. 2. Оно показывает, что для самосогласованного результата матричный элемент ШЧ должен быть лоренцевым скаляром, иначе предел расходится:

В интеграле захватывается область отрицательных нефизических для электророждения. Однако если принять, что симметрия выполняется как при конечном, так и при бесконечном то четная по . А так как и интегрирование обрезается при то

С помощью этого правила сумм, если оно правильное, можно измерить -числовой ШЧ (дает вклад только -числовая часть ШЧ, так как рассматривается связный матричный элемент, из которого вычтено вакуумное среднее Имеющиеся данные согласуются с Это прямое указание на то, что ШЧ является -числом, Напротив, если известно, что -число, то из (5.8) предсказывается так как неотрицательно. Однако если убывает недостаточно быстро, так что правило сумм расходится, то становится непонятным, бесконечен ли этот матричный элемент ШЧ или же просто правило сумм неправильно. Ниже будет рассмотрен вопрос о правильности правила сумм.

Второе правило сумм, которое мы здесь обсудим, — это соотношение Каллана Гросса [4]. Берутся -компоненты

полатается равным нулю:

В глубоконеупругой области устремляется к бесконечности

Альтернативное выражение для следует из (5.1):

Комбинируя (5.96) и (5.10) и интегрируя по имеем:

Окончательно правило суммимеет вид

При вычислении интеграла по области физических со были использованы свойства симметрии

Заметим, что после интегрирования по х остается только коэффициент перед -функцией в все ШЧ выпадают при интегрировании. В свою очередь, предельным переходом выделяются те части ОВК, которые являются компонентами лоренцева тензора второго ранга. Матричные элементы таких величин могут быть билинейны по и остаются в этом пределе. Матричные элементы лоренцевых скаляров не должны зависеть от следовательно, исчезают в пределе после умножения на Для самосогласованности соотношения (5.116) следует предположить, что в не содержится никаких тензоров четвертого или более высокого ранга в коэффициенте перед -функцией. Такие тензоры вели бы себя как и уравнение (5.116) расходилось бы.

Правило сумм Каллана — Гросса можно использовать двояко. Оно переводит экспериментальные данные в информацию о коммутаторе. Если, напротив, известен коммутатор, то из него следуют предсказания для эксперимента. Каллан и Гросс выбрали второй

путь. Вычисляя во множестве кварковых моделей, они нашли, что (см. упражнение 5.1)

Таким образом, из (5.116) следует, что интеграл и соответственно само тождественно исчезают в этих кварковых моделях (к данному выводу можно прийти, конечно, и из правила сумм для ШЧ, если ОВК вычисляется канонически).

Ясно, что правило сумм Каллана — Гросса сходится при лучше, чем правило сумм для ШЧ. К сожалению, оно менее строгое, так как необходимо знание коммутатора, для вычисления которого требуются как канонические уравнения, движения, так и канонические коммутационные соотношения. Можно получить последующие правила сумм, связывающие интегралы от моментов токов и высших производных токов. С ростом степени сходимость интеграла по со улучшается. Соответствующие коммутаторы могут быть найдены только после многократного использования уравнений движения.

Изложенные выводы, хотя и очень простые и прямые, являются эвристическими в том смысле, что они требуют предельного перехода под знаком интеграла. У нас нет способа проконтролировать эти математические манипуляции и оценить их справедливость. Кроме того, для перехода в глубоконеупругую область устремляли к бесконечности при фиксировании что делало времениподобным и выводило за физическую область этого процесса. Приведем сейчас альтернативный вывод, где будут яснее видны некоторые из математических предположений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление