Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Вывод правил сумм. Дисперсионный метод

Для второго вывода [5] рассмотрим амплитуду комптоновского рассеяния вперед, абсорбтивная часть которой есть коммутатор

Первое из предположений, необходимых для вывода правил сумм, — лоренц-скалярность матричного элемента ШЧ (если он существует). Отсюда следует, что контактный член (если он существует) в -произведении имеется только в -компонентах (см. упражнение 2.7). В предыдущем выводе уже встречалось это условие. 1

Амплитуды удовлетворяют дисперсионным соотношениям до при фиксированном Эти дисперсионные соотношения можно

превратить в дисперсионные соотношения по при фиксированном заменой переменных Следовательно, можно считать функцией и Для вывода двух правил сумм необходимо принять безвычитательные дисперсионные соотношения для

Чтобы вывести правило сумм для ШЧ, необходимо принять безвычитательные соотношения для комбинации

Правило сумм Каллана-Гросса можно получить при более слабых гипотезах. Достаточно принять, что в соотношении для требуется не более одного вычитания, если вычитательный член не растет с ростом

Здесь совпадает с при . Уравнение (5.156) заведомо верно, если выполняются (5.14) и (5.15а); оно может верно, даже если (5.15а) и нуждается в вычитании. Дисперсионные представления (5.14) и (5.156) согласуются с обычным реджевским подходом, предсказывающим конечные пределы как для так и для при . Очевидно, что (5.15а) выполняется, если убывает достаточно быстро при малых со (больших

Сделаем предельный переход БДЛ в избранных компонентах Рассмотрим вначале Поскольку в нет контактных членов, то -произведение совпадает с -произведением. Следовательно, из (5.13) имеем

Так как по исходной гипотезе матричный элемент ШЧ не имеет никакой зависимости от то должен быть нулем. К этому же выводу можно прийти и из (5.14) [в пределе

Уравнение теперь можно переписать как

Предел БДЛ для вычисляется из дисперсионной формулы (5.15а). Отсюда получаем правило сумм для ШЧ [6]:

Для вывода правила сумм Каллана — Гросса рассмотрим Чтобы осталось -произведение и можно было применять теорему БДЛ, надо извлечь контактный член. Нам достаточно исследовать в системе [7]. Так как в пределе то из (5.13) имеем

Следовательно, контактный член — не исчезающая в пределе БДЛ часть -произведения. Он равен

Согласно дисперсионному представлению для предел БДЛ для этой величины равен Вводя асимптотическое разложение для вычитательного члена

получаем из (5.17а), что -произведение равно

Применим теперь предельный переход БДЛ к

Значение амплитуд, возникающих в (5.18а), в пределе БДЛ можно найти из соответствующих дисперсионных представлений:

Правила сумм Каллана-Гросса будут получены, если поделить (5.186) на и устремить к бесконечности.

Из разобранного вывода правил сумм непосредственно видно, что с высокоэнергетическими правилами сумм связаны именно определенные по БДЛ коммутаторы. Если необходимы вычитания сверх предположенных выше, то этим методом нельзя получить никакие правила сумм (см. упражнение 5.2).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление