Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5. Аномальные коммутаторы

Для вычисления в низшем порядке теории возмущений нужно знать комптоновскую амплитуду в том же порядке. На рис. 8 приведены соответствующие перенормированные диаграммы.

Физические амплитуды получаются после умножения на где константа перенормировки волновой функции. Хотя для правила сумм Каллана — Гросса требуется только амплитуда

комптоновского рассеяния вперед, вычислим ее для рассеяния также и на ненулевой угол. Очевидно, следует вычислить пропагатор и вершинную функцию во втором порядке. В дальнейших приложениях понадобится также и аксиально-векторная вершина. Вычисления проводятся в калибровке Ландау для пропагатора бозона

Как и раньше, будем считать фермионы безмассовыми. Удобное свойство этой модели — конечность перенормировки волновой функции.

Рис. 8. Поправки высших порядков к комптоиовской амплитуде

Поэтому имеет смысл говорить о хорошо определенных неперенормированных фермионных полях.

В низшем нетривиальном порядке теории возмущений вычисляются следующие функции Грина.

1. Неперенормированный пропагатор фермиона

2. Неперенормированная векторная вершинная функция

3. Неперенормированная аксиально-векторная вершинная функция

4. Комптоновская амплитуда

Как только эти функции явно вычислены, можно найти ряд коммутаторов из предела БДЛ. Не все они имеют отношение к правилу

сумм Каллана — Гросса, но они достаточно интересны, чтобы их упомянуть. Контактных членов нет ни в одном из -произведений, т. е. они совпадают с -произведениями, и, следовательно, применима теорема БДЛ. Вычислим следующие коммутаторы [12]:

Последний из них — коммутатор Каллана — Гросса. В амплитуде рассеяния вперед нет никаких членов так как матричный элемент между диагональными усредненными по спину состояниями исчезает. При вычислении правой части (5.28) для -компоненты возникает содержащий матричный элемент аксиального тока (5.24). После того как выполнены предельные переходы, получаем [13]:

и после усреднения по спинам

Видно, что большинство коммутаторов неканонические; они имеют поправки, зависящие от взаимодействия. Примечательно то,

что все неканонические поправки конечны. Уравнение (5.30) показывает, что меняется и канонический коммутатор (антикоммутатор) полевой переменной с сопряженным ей импульсом. Это не удивительно; вспомним, что поля о]: в данной задаче перенормируются и, что хорошо известно, коммутатор неперенормированных полей вообще перестает существовать из-за бесконечной константы перенормировки волновой функции Только в нашей специальной модели; где конечно, получается хорошо определенный результат. Однако хотя результат и конечен, он отличается от наивного. Уравнение (5.316) показывает, что поле имеет неканонический коммутатор с пространственной компонентой тока. В то же время плотность заряда имеет с полем канонический коммутатор (5.31а). ОВК и являются каноническими, что указывает на отсутствие в модели однофермионного матричного элемента ШЧ. Следовательно, правило сумм (5.8) для ШЧ, если оно правильное, предсказывает исчезновение в этой модели. Из уравнения (5.32в) вытекает, что каноническая алгебра пространственных компонент токов не подтверждается в теории возмущений. Отсюда следует, что определенные радиационные поправки к -распаду, которые считались конечными исходя из кварковой алгебры токов, в действительности бесконечны [14]. Наконец, член в (5.33) — неканонический. Благодаря множителю этот член дает вклад в правило сумм Каллана — Гросса и портит каноническое предсказание

Рассмотрим канонический вывод коммутаторов, полученных выше, и укажем то место, которое при непосредственных расчетах оказалось незаконным. Возьмем для определенности Один способ канонического вычисления такого коммутатора — записать каноническое выражение для тока и использовать затем канонические (анти) коммутационные соотношения о]: Но так как хотелось бы свести к минимуму использование ненадежного канонического формализма, то предпочтем альтернативный вывод, использующий только надежные коммутаторы, в котором явно видны причины возникновения зависящих от взаимодействия поправок. Достаточно рассмотреть только пропорциональный -функции член в непосредственные расчеты, проведенные выше, не дают указаний на существование градиентных членов. Рассмотрим коммутатор:

Для перехода от первого к последнему выражению в (5.34а) были использованы сохранение тока и интегрирование по частям. При вычислении первого из двух членов в последнем из равенств (5.34а) можно использовать теперь канонический результат для ОВК

Использование канонического значения здесь вполне законно; непосредственные расчеты также не порождают никаких сомнений. Чтобы найти последний член, возникающий в (5.34а), необходимо найти выражение для По определению, уравнения движения для имеет вид Здесь источник фермионного поля, равный В нашей модели. Но пока его можно сохранить неопределенным. Уравнение (5.34а) теперь эквивалентно

Выполнив дифференцирование по времени и используя еще раз уравнение движения, преобразуем (5.346) в

Видно, что канонический результат получаетсятолько тогда, когда второй член в правой части (5.34в) исчезает. Он действительно исчезает, если взять каноническую формулу для

Однако выражение содержит произведение двухквантовомеханических операторов в одной точке пространства времени и в общем случае является неопределенным. Ясно, что «корректная» запись отличается от канонической так, что меняется по сравнению с канонической формой. Легко видеть, что для воспроизводится при следующем виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление