Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2. Указания на существование аномалий вне рамок теории возмущений

Почти все расчеты, которые были проведены, чтобы установить существование коммутаторных аномалий, основаны на теории возмущений. Возникает важный вопрос: свойственны ли аномалии только теории возмущений или же они являются неотъемлемым свойством полной теории? Хотя наши знания о структуре полной локальной теории поля крайне ограниченны, можно тем не менее утверждать, что все имеющиеся данные говорят о существовании аномалий и вне рамок теории возмущений.

Во-первых, необходимость существования ШЧ была установлена без обращения к теории возмущений. Следовательно, в теории с фермионами должны существовать по меньшей мере аньмалии, связанные со хотя ШЧ и нельзя найти каноническими методами. Далее результаты пункта 3 параграфа 6.1 указывают на то, что аномалии должны быть достаточно сингулярны, так что или ШЧ является -числом, или нарушается тождество Якоби.

Для существования других аномалий нет столь же общего обоснования, как для ШЧ. Однако ясно, что некоторые из аномалий должны присутствовать во всех порядках теории возмущений. Рассмотрим, например, амплитуду распада пиона вне массовой поверхности В перенормированной теории возмущений это очень хорошо определенная и однозначная величина. Поэтому если не исчезает в низшем порядке, то члены высших порядков не могут уничтожить первый неисчезающий результат при произвольной константе связи. Даже если ряд теории возмущений не сходится, трудно представить, чтобы полный ряд сходился к нулю для всех констант связи. Однако можно предположить существование другого решения теории, не имеющего аналога в теории возмущений. Подобную точку зрения нельзя отвергнуть, но ее обоснование требует дополнительных предположений. Важно то, что открытие аномалий доказало зависимость алгебры токов от непредвиденных, на первый взгляд, динамических предположений.

Что касается аномалий, связанных с высокоэнергетическими правилами сумм типа правила сумм Каллана — Гросса, то здесь вычисления в низших порядках менее надежны. Например, не исключено, что которое должно исчезать при в кварк-мюонной модели, ведет себя при больших как В низшем порядке это неисчезающая функция, но при полная функция исчезает. Однако в проведенных в высших порядках расчетах не было найдено никаких указаний на подобное затухание. Конечно, пока вычислены не все порядки, можно предполагать, что затухание все же возникает, но опять-таки это остается динамическим предположением.

Другая группа аргументов в пользу аномалий возникает из нереалистических, но решаемых моделей. Было показано, что полные решения моделей Ли [8] и Тирринга [9] обладают аномалиями коммутаторов и дивергенций-. Фундаментальной причиной возникновения аномалий в перенормируемой теории являются расходимости исходной неперенормироваиной теории. Никто не знает с-определенностью, иллюзорны или нет эти расходимости, хотя все имеющиеся указания и говорят, что нет. Можно сослаться, например, на аксиоматический подход к теории поля: В рамках подхода найдено (хотя

и в нереалистическом двумерном пространстве—времени), что определенный тип расходимостей, существование которых строго доказано, правильно описывается теорией возмущений [10].

Возможно, некоторые аномалии действительно исчезают при специальной величине константы связи. Например, в спинорной электродинамике канонический коммутатор неперенормированных электромагнитных потенциалов

можно сохранить и в полной теории, если неперенормированный заряд удовлетворяет некоторому соотношению [11]. Это соотношение записывается как условие исчезновения некоторой числовой функции неперенормированной константы (т. е. константа связи должна быть выбрана в нуле этой функции). К сожалению, неизвестно, имеется или нет нуль у соответствующей функции: вплоть до шестого порядка теории возмущений его нет. Более того, маловероятно, что все аномалии исчезнут, даже если соотношение для заряда и будет выполнено.

Можно надеяться, что нелинейные ограничения условия унитарности, которые не учитываются должным образом в теории возмущений, приводят к затуханию высокоэнергетического поведения различных функций Грина, так что разные неприятные результаты исчезают из полного решения. Предварительный анализ этой возможности привел к отрицательному выводу. Не было найдено никакого механизма затухания [12].

Возникновение аномалий в избранных тождествах Уорда можно понять следующим образом. Наивные тождества Уорда есть следствие соответствующих симметрий динамики. В теории поля, где динамика описывается лагранжианом, эти симметрии должны быть симметриями лагранжиана. Однако даже если функция Лагранжа, записанная через неперенормированные поля, и обладает соответствующей симметрией, решения теории могут и не обладать этой симметрией. Дело в том, что неперенормированный лагранжиан не является хорошо определенным из-за расходимостей неперенормированной теории. Хорошо определенная теория возникает только после регуляризации. Поэтому симметрия и тождества Уорда остаются только тогда, когда метод регуляризации не нарушает инвариантность. Типичная процедура регуляризации — введение в задачу регуляризующей массы, и необходимо предвидеть возможность нарушения симметрий, зависящих от отсутствия массовых членов, таких, как киральная симметрия или масштабная инвариантность (масштабная инвариантность обсуждается в следующей главе).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление