Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2. Каноническая теория масштабных и конформных преобразований

Масштабное преобразование координат меняет на Это преобразование того же класса, что и трансляция или преобразование Лоренца По причинам, которые вскоре будут очевидны, рассмотрим также конформное преобразование координат Здесь и — параметры, определяющие дилатацию (растяжение), трансляцию, преобразование Лоренца и конформное преобразование соответственно. В инфинитезимальной форме эти преобразования имеют вид:

трансляция:

преобразование Лоренца:

дилатация:

конформное преобразование:

При записи формул (7.2) опущены сами бесконечно малые параметры преобразований (аналогично будем поступать и в дальнейшем).

Набор из 15 преобразований (7.2) образует -параметрическую группу Ли, называемую конформной группой. Она является обобщением -параметрическои группы Пуанкаре, образуемой 10 преобразованиями (7.2а) и (7.26). Рассмотрев действие преобразований в различных порядках, можно построить алгебру Ли группы. Обозначив соответственно генераторы трансляции, преобразований Лоренца, дилатаций и конформных преобразований, получаем:

Первые три коммутатора определяют алгебру Ли группы Пуанкаре. При записи коммутаторов (7.3д) — (7.3з) вовсе не утверждаем, что они реализуются в природе. Они попросту отражают правила комбинирования преобразований (7.2). Действительно, коммутатор противоречит обычной физике. Если бы равенство выполнялось в действительности, то а это означает, что либо спектр масс непрерывен, либо все массы исчезают. Ни то, ни другое неприемлемо [3],

Прежде чем получить условия, при которых лагранжиан зависящий от полей масштабно- или конформно-инвариантен, нужно решить, как преобразовывать поля при растяжении и конформном преобразовании. Для трансляций и преобразований Лоренца правила обычные:

Для остальных операций примем следующие преобразования, согласующиеся с (7.3):

Здесь константа, называемая размерностью поля

Теперь легко, следуя правилам, сформулированным в гл. 2, найти изменение

V» называется вириалом поля и дается формулой

При выводе (7.5) использовалась инвариантность X относительно трансляций и преобразований.

Из (7.5а) видно, что инвариантность относительно растяжений требует

Если выбрано равным 3/2 для фермионного поля и 1 для бозонного, то кинетические части лагранжианов удовлетворяют (7.7). Эти значения -отвечают естественным размерностям полей в единицах массы. Как легко видеть, (7.7) требует, чтобы размерность X равнялась 4, т. е. в X не должно быть никаких размерных параметров. Ясно, что массовые члены нарушают (7.7). Примерами взаимодействий, удовлетворяющих (7.7), являются или ярярф.

Уравнение (7.56) показывает, что для конформной инвариантности нужны два условия. Во-первых, должна выполняться масштабная инвариантность. Это видно уже из (7.3): если являются генераторами симметрии, то же относится и к Во-вторых, вириал поля должен быть полной дивергенцией:

Примечательно, что (7.8) справедливо во всех перенормируемых теориях, хотя масштабная инвариантность, конечно, нарушается. Уравнение (7.8) выполняется также во всех теориях со спинами меньше 1 без градиентных связей. Следовательно, как только принята модель нарушения масштабной симметрии, автоматически получается и модель нарушения конформной симметрии.

Токи, связанные с этими преобразованиями, определяются теперь с помощью общей техники (см. гл. 2). Канонический дилатационный и канонический конформный ток равны:

Заметим, что токи выражаются через канонический тензор энергии — импульса Как показано в гл. 2, тензор Белинфанте имеет больший физический смысл, чем так что (7.9) надо переписать через Подставляя в (7.9) формулу для через и соответствующий суперпотенциал (2.17), получаем после длинных выкладок:

Здесь симметричная часть — величины, которые можно записать явно. Так как и и антисимметричны по их можно опустить без всякой потери физического содержания токов. Таким образом, конформный и дилатационный токи Белинфанте имеют вид:

Их можно еще упростить: Вместо тензора Белинфанте при обсуждении трансляционной и лоренц-инвариантностей можно использовать новый, улучшенный тензор [2], Эта величина получается, если добавить к суперпотенциал:

Дополнительный суперпотенциал не меняет ни сохранения, ни свойств симметрии и не дает вклада в генераторы трансляции и преобразований Лоренца. Поэтому можно использовать вместо как ток Пуанкаре. Для записи дилатационного и

конформного токов удобнее, чем Токи Белинфанте записываются через как

Полные дивергенции в (7.13) являются суперпотенциалами, их можно опустить. Тогда получим окончательное выражение для токов:

Кроме простоты записи токов через новый тензор обладает еще одним преимуществом. Можно показать, что в перенормированной теории возмущений его матричные элементы менее сингулярны, чем [2].

Дивергенция этих токов выражается через след

Таким образом, отличие от нуля нарушает как масштабную, так и конформную симметрию (в теориях, где ). В последующем всегда считаем отличным от нуля благодаря массовым членам в Поэтому конформная и масштабная симметрии нарушены, как и должно быть во избежание физически бессмысленного спектра масс [3].

Непосредственные расчеты показывают, что — тождественные нули для полей со спином 1/2 и 1. Для полей со спином нуль

Теперь можно написать явную формулу для

Суммирование идет только по полям со спином нуль. Их выделенная роль до сих пор остается непонятной.

В теории преобразований можно использовать любой из тензоров энергии — импульса: или Использование именно придает особое значение этой величине. Как обсуждалось в гл. 2, тензор энергии импульса играет особую роль в теории гравитационных взаимодействий. В обычной теории гравитации Эйнштейна источником гравитонов является Если работать с то следует изменить теорию, чтобы источником был .

Подобная модификация была проделана, и модифицированная теория согласуется со всеми имеющимися проверками теории относительности [4].

Заряды

в отсутствие симметрии не являются лоренц-ковариантами. Они также не удовлетворяют алгебре (7.3) (см. упражнение 7.2). Несмотря на это, и дают соответствующие преобразования полей и в отсутствие симметрии (см. упражнение 7.3):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление