Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3. Тождества Уорда и соотношения для следа

Выше предполагалось, что дается в лагранжевой модели массовыми членами: так, когда имеются фермион с массой и бозон с массой то Очевидно, что дивергенция дилатационного тока — гладкий оператор; размерность операторов, возникающих в не выше трех. Сейчас возможны два приложения к физике обсуждаемых идей. Можно попытаться повторить успех предположить доминантность вклада скалярных мезонов в матричные элементы и объяснить низкоэнергетическую динамику этих мезонов [5]. Не будем обсуждать эту точку зрения, а обратимся ко второму из возможных приложений: определению высокоэнергетического поведения функций Грина. Для определенности рассмотрим двухточечную функцию — перенормированный пропагатор.

Вывод следствий из гипотез о нарушении масштабной и конформной инвариантностей проще всего достигается с помощью тождеств Уорда, которым удовлетворяют и Так как эти токи связаны простым образом с тензором энергии — импульса, то полезно рассмотреть, тождества Уорда для матричных элементов Выведем эти тождества.

Для этого понадобится коммутатор с перенормированным полем размерности При весьма общих предположениях можно показать, что

Это формальные канонические коммутаторы. Нельзя утверждать, что они справедливы в теории возмущений. Так как коммутатор

с необходимостью, содержит градиентные части, то -произ-ведение и нековариантно. Для получения ковариантного -произведения необходимо добавить контактный член. Рассмотрим

Здесь индексы обозначают поля, они могут быть как пространственно-подобными индексами, так и внутренними. Предполагается, что в силу гладкости в его матричных элементах контактные члены не требуются. Контактный член можно выразить через известные коммутаторы (7.20) методами, изложенными в гл. 2. Как только он определен, можно вывести тождество Уорда. Опустим детали вывода и запишем результат [6]:

Тождество для следа имеет вид

Дополнительные к члены в (7.24) возникают из следа В уравнениях (7.23) и является перенормированным пропагатором:

Формулы (7.23) и (7.24) содержат все ограничения, которые различные пространственно-временные преобразования (лоренцевы, масштабное и конформное) накладывают на пропататор. (Для изучения n-частичной функции Грина надо было бы рассмотреть матричный элемент полями.) Как только будет выбрана модель нарушения масштабной симметрии, можно получить теоремы для Покажем, как из (7.23) и (7.24) получаются ограничения на пропагатор.

1, Лоренцевы преобразования. Продифференцируем (7.23) по и положим Тогда

Так как симметрично по то из (7.26) видно, что

Это хорошо известное и тривиальное ограничение лоренц-ковариантности.

Масштабные преобразования. Образуем след (7.26) и, опуская индексы, запишем

Комбинируя (7.28а) и (7.24) при имеем

Это накладывает ограничение на если известно т. е. если имеется модель нарушения скейлинговой симметрии.

3. Конформные преобразования. Вычислим производную

и положим Тогда получим

Левая часть (7.29а) может быть найдена из (7.24). После перегруппировки членов имеем

Это уравнение можно упростить с помощью (7.27) и (7.286). Сначала при переходе от (7.286) к (7.296) исключается :

Затем используем (7.27):

Уравнение накладывает ограничения на следующие из модели нарушения конформной симметрии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление