Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Предел Бьеркена-Джонсона-Лоу

Бьёркен, Джонсон и Лоу первыми заметили, что поведение -произведения операторов при высоких энергиях определяется ОВКС этих операторов. Джонсон и Лоу в рамках конкретных моделей теории поля вычислили в теории возмущений асимптотику

-произведений (в частности, они исследовали треугольные диаграммы в глюонной модели), и проверили, действительно ли они определяются именно каноническими коммутаторами. Подход Бьёркена был совершенно иным. Он использовал канонические или предполагаемые ОВКС для вывода соотношений для рассеяния лептонов на адронах и для выяснения вопроса о конечности радиационных поправок. Будем следовать подходу Бьёркена.

Рассмотрим матричный элемент для рассеяния двух токов (операторов) между произвольными состояниями (см. рис. 23). Этот процесс описывается фурье-преобразованием от -произведения токов Здесь вместо -произведения входит -произведение, так как первое не является лоренц-инвариантным. Действительно, когда ОВКС содержат производные от -функций (швин-геровские члены), операция упорядочения по времени зависит от системы отсчета. Чтобы восстановить лоренц-инвариантность, следует добавить к локальный [пропорциональный или производным от ] «сигалл» или контактный член, который переводит Контактный член можно легко выразить через ШЧ, ответственный за его появление. Чтобы это сделать, ШЧ должен удовлетворять определенным условиям. Однако если ОВКС операторов определить как граничное значение причинных коммутаторов при равных временах, то такие условия удовлетворяются автоматически. Пока рассматривается матричный элемент в импульсном пространстве, эти члены добавляют к -произведению токов полином по импульсам, так что

или (полином ). Таким образом, контактный член не появляется в скачке -произведения, который определяется фурье-преобразованием коммутаторов токов.

Рис. 23

Предел БДЛ определяет поведение при больших Его можно получить из уравнения для Выведем уравнение Лоу, используя следующее представление для ступенчатой функции

Перепишем в виде

где

Теперь перейдем к пределу по любому направлению (за исключением положительной полуоси):

Здесь использованы равенства Окончательно имеем для -произведения

Все выкладки были проделаны крайне формально. Однако не ясно даже, допустимо ли вообще разложение по Оно требует по крайней мере конечности коэффициентов разложения. В частности, может оказаться, что разложение БДЛ имеет смысл только для нескольких первых членов. Действительно, из теории возмущений известно, что теорема БДЛ в общем случае не выполняется. Детальнее эти вопросы будут обсуждаться в гл. 5.

Как можно использовать теорему БДЛ? За исключением циального случая электрон-позитронной аннигиляции, предел БДЛ достигается в нефизической области. Прямое измерение скачка амплитуды по невозможно. Например, можно измерить лишь в области тогда как для прямой проверки теоремы БДЛ требуется знание при при Таким образом, теорема БДЛ может быть использована лишь косвенно. Одним из первых ее приложений было исследование электромагнитного расщепления масс, радиационных поправок и второго порядка по слабым взаимодействиям. Мы проиллюстрируем эти приложения, рассмотрев протон-нейтронную разность масс.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление