Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Световой конус и разложение произведений операторов

Обсудим теперь, что означает скейлинг в координатном пространстве, в частности, какая область в пространстве—времени исследуется в скейлинговом пределе? Для ответа на этот вопрос рассмотрим скейлинговый предел для коммутаторов токов в системе покоя мишени, где . В этой системе

и, следовательно, коммутатор можно записать как

Таким образом, для больших в этом фурье-преобразовании важна область, где так что

Коммутатор равен нулю для пространственных интервалов между токами ; следовательно, в скейлинговом пределе исследуется поведение коммутаторов тока на световом конусе. В реджевском пределе (высокие энергии при фиксированных внешних массах) изучается область, где

и, следовательно, основной вклад в структурные функции идет от х, находящихся на конечном расстоянии от светового конуса.

Бьёркеновское представление структурных функций в виде «почти одновременных коммутаторов» - другой способ продемонстрировать, как происходит приближение к световому конусу. Рассмотрим структурную функцию которая в системе, где , выражается как

Скейлингова предела можно достигнуть, положив и оставив фиксированным. Запишем в Виде

где

Из выражения (5.9) можно получить все правила сумм, обращая преобразование Фурье и раскладывая обе части по степеням Кроме того, видно, как: происходит подход к световому конусу, так как интервал дающий вклад в (5.9), исчезает при больших

Вильсон предложил обобщение ОВКС, относящееся к поведению коммутаторов токов на световом конусе. Обобщение состоит в том, что произведение двух локальных операторов для малых пространственно-временных интервалов можно разложить по системе независимых локальных операторов:

Функции зависят от четырехвектора х и имеют сингулярности вблизи типа возможно, Существенная черта схемы Вильсона — понятие масштабной инвариантности. С каждым локальным оператором связывается «размерность» которая фиксирует зависимость от х с точностью до логарифмов. Если бы масштабная инвариантность была строгой симметрией, тогда существовал бы унитарный оператор такой, что

Применяя это преобразование к разложению (5.10), получаем

Отсюда следует, что однородная функция порядка

В теории свободного поля разложение произведений операторов корректно, а операторы упорядоченные по Вику произведения полей и их производных. Размерность операторов в этом случае равна физической размерности в единицах массы (скалярное поле имеет размерность спинорное ток — ). Однако при включении взаимодействия размерность может измениться. Вильсон привел аргументы в пользу того, что единственными

операторами, размерность которых совпадает с канонической, будут те, которые удовлетворяют нелинейным ОВКС, а именно векторные токи и тензор энергии—импульса.

Разложение произведений операторов — весьма полезное обобщение ОВКС. Оно, конечно, определяет все ОВКС двух операторов; однако даже если коммутаторы бесконечны, разложение всегда существует для малых, но конечных х [расходимости возникают только в -числовых функциях

Приведем пример разложения коммутаторов двух токов:

где первый член приводит к квадратично расходящемуся с-числовому ШЧ в а второй приводит к (использовалось равенство

Зафиксируем теперь свойства по отношению к преобразованию Лоренца. В качестве можно выбрать симметричный тензор ранга с нулевым следом, тогда

На малых расстояниях тензор размерности вносит в разложение вклад, который ведет себя как Следовательно, основной вклад дают операторы с размерностью меньшей, чем

Теперь обобщим разложение произведений операторов на световой конус. Тогда не обязательно мало, и вносит вклад, который ведет себя как малых Таким образом, в разложение вблизи светового конуса вносит вклад бесконечное число операторов, размерность которых минус спин меньше, чем . В свободной теории поля существуют определенные соотношения между наинизшей размерностью операторов и их спином. В модели свободных кварков, например, операторы наинизшей размерности (исключая полные производные локальных операторов) имеют вид

и они удовлетворяют соотношению

Таким образом, они будут вносить одинаковый вклад в разложение на конусе.

Применим теперь разложение на световом конусе к диагональному матричному элементу коммутатора токов, выделив коэффициент при

Если операторы в разложении удовлетворяют каноническому соотношению (5.15), то будет иметь размерность Отсюда следует

Таким образом, канонические размерности предполагают, что сингулярность на световом конусе есть -функция. Если от приведенного выражения взять фурье-преобразование, то такая сингулярность приводит к скейлинговым структурным функциям. Наоборот, существование нетривиального масштабно-инвариантного предела требует бесконечного числа операторов с возрастающим спином и размерностью (спин ).

Что это за операторы? Если записать матричный элемент от как , то

Возьмем от (5.17) фурье-преобразование. Тогда

Правую часть (5.18) можйо рассматривать как правило сумм для компонент с высшим спином в

Произвести такое сравнение можно непосредственно, взяв предел в последовательности производных по времени от (5.17).

В рамках разложения произведения операторов можно ввести гипотезы, непосредственно ведущие к ранее полученным правилам сумм. Так, если предположить, что тензорная структура произведений вблизи светового конуса та же, что и в модели свободных кварков, то Однако потребуется еще много работы, чтобы понять, почему поведение на световом конусе такое же, как в свободной теории, и чтобы найти новые приложения такого разложения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление