Главная > Физика > Лекции по алгебре токов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 3. КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТОКОВ

Мы уже рассмотрели целый набор-токов, векторных и аксиальных, которые можно использовать для описания электромагнитных и слабых взаимодействий. Каждому току можно приписать индекс, указывающий на его квантовые числа . В электромагнитных и полулептонных взаимодействиях участвуют шесть различных векторных токов и четыре аксиальных. Исходя из -симметрии, дополним каждую группу токов до полного октета, вводя недостающие токи, которые могут как иметь, так и не иметь физического смысла, но которые, во всяком случае, являются полезными математическими объектами. Кроме того, удобно ввести вместо квантовых чисел единый -индекс а, обычно присваиваемый октету в реальном тензорном базисе. Векторный и аксиальный октеты будем обозначать в дальнейшем символами соответственно . В этих обозначениях электромагнитный ток запишется в виде

где первый член — изовекторная часть тока, а второй — изоскалярная. Аналогично слабый адронный ток можно выразить как

а ток, уменьшающий заряд, — следующим образом:

Здесь

Для каждого векторного тока введем оператор обобщенного заряда согласно формуле

Сохранение гиперзаряда в сильных взаимодействиях означает, что сохраняющийся ток и, следовательно, в действительности не зависит от времени. С точностью до множителя совпадает с оператором гиперзаряда

Согласно гипотезе CVC векторные токи также сохраняются и принадлежат одному изотопическому триплету.

Соответствующие заряды не зависят от времени и являются тремя компонентами оператора изотопического спина

Операторы генераторы изотопической -симметрии— удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям

Если предположить, что нет взаимодействия, нарушающего -симметрию сильных взаимодействий, то возникает октет сохраняющихся векторных токов, и его по гипотезе Кабиббо нужно идентифицировать с октетом (Напомним, что компоненты не входят ни в электромагнитные взаимодействия, ни в полулептонные.) В мире с точной -симметрией сильных взаимодействий все восемь зарядов не зависят от времени. Они также совпадают с генераторами -группы и удовлетворяют соответствующим коммутационным соотношениям

Структурная -константа полностью антисимметрична по индексам. Неисчезающие элементы (за исключением элементов, отличающихся перестановкой индексов) имеют вид:

Для воображаемого мира с точной -симметрией можно развить модель Кабиббо еще дальше. Предположим, что не только заряды но и плотности токов составляют -октет и что это также верно и для плотностей аксиальных токов Их трансформационные свойства отражены в коммутационных соотношениях:

В этом воображаемом мире адроны обладают хорошо определенными -трансформационными свойствами, а соотношения симметрии связывают матричные элементы различных токов. Коэффициенты Клебша — Гордона в этих соотношениях отражают структуру -группы и, следовательно, структуру коммутационных соотношений (3.7). Однако, кроме технических упрощений при получении коэффициентов Клебша — Гордона, коммутационные соотношения фактически ничего не дают. Важно, что -симметрия на самом деле не является хорошей. При включении члена, нарушающего симметрию, адроны уже не обладают хорошо определенными трансформационными свойствами, заряды

(за исключением ) становятся зависящими от времени и модель Кабиббо, казалось бы, теряет смысл. Гелл-Ман выдвинул предположение, что даже в этом случае кое-что от модели Кабиббо можно сохранить. Именно Гелл-Ман предложил описывать -свой-ства токов в терминах их одновременных коммутационных соотношений (в то время это было совершенно новым взглядом). Он заметил, что одновременные коммутационные соотношения зависят только от структуры токов, если рассматривать их как функции канонических полевых переменных: обобщенных координат и обобщенных импульсов Если член, нарушающий симметрию, достаточно простой (скажем, не содержит членов с производными), то независимо от остальных деталей токи как функции канонических переменных сохранят прежнюю структуру; следовательно, и коммутационные соотношения не изменятся. Все это правильно для проинтегрированных по пространству плотностей, т. е. для операторов заряда. Короче говоря, Гелл-Ман предположил, что одновременной вариант соотношений (3.7) может быть верным и для реального мира. Несколько более сильное предположение заключается в том, что и одновременные соотношения (3.9) также всегда справедливы. Эти соотношения придают точный смысл понятиям о том, что векторные и аксиальные токи обладают октетными трансформационными свойствами. Они также фиксируют относительный масштаб различных векторных токов и аналогично аксиальных токов. Но масштаб аксиальных токов никак пока; не связан с масштабом векторных полей. Гелл-Ман первым решил и эту проблему. Именно он ввел предположение о виде коммутаторов для аксиальных токов. Эти коммутационные соотношения представляют наиболее интересную часть его схемы. Чтобы понять, в чем состоит новая гипотеза, введем восемь «аксиальных зарядов» определенных по аналогии с (3.5):

Гелл-Ман постулировал одновременные коммутационные соотношения

Так как это выражение билинейно по аксиальным зарядам и его правая часть содержит векторные заряды, то относительный масштаб между аксиальными и векторными зарядами теперь фиксирован.

Одновременные коммутационные соотношения (3.7) и (3.9) можно оправдать по крайней мере грубой симметрией реального мира и привлекательностью модели Кабиббо, основанной на этой симметрии. Значительно труднее обосновать (3.11). Это можно сделать, введя более высокую группу с генераторами Нельзя, однако, сказать, что эта симметрия сама по себе очевидна. В то же время можно найти подтверждение (3.11)

в различных моделях. Следуя Гелл-Ману, предположим, что фундаментальные поля — это поля кварков. Тогда, так же как протонные и нейтронные поля объединяются в двухкомпонентный спинор в изотопическом пространстве можно ввести спинор

который описывает тройку кварковых полей. По аналогии с тремя бесследовыми -матрицами которые действуют в изотопическом пространстве нуклонного дублета, вводятся восемь бесследовых -матриц действующих в -пространстве кварков. Базис можно выбрать так, что матрицы удовлетворяют коммутационным соотношениям

Построим теперь векторный и аксиальный токи простейшим способом — в виде билинейной комбинации кварковых полей:

На первый взгляд кажется, что выбор числовых множителей (вообще говоря, различных для векторных и аксиальных токов) перед приведенными выражениями произволен. Но это не так. Используя канонические антикоммутационные соотношения для спинорных полей вместе с соотношениями (3.12), можно получить одновременные коммутационные соотношения для различных компонент токов. Не будем выписывать пространственные коммутаторы. При желании каждый может получить формальные выражения:

Уравнения (3.14) содержат как (3.11), так и (3.9). Но эти локальные коммутационные соотношения, конечно, более сильные и приводят к далеко идущим следствиям. До сих пор, насколько известно, нет никаких теоретических аргументов против локальных соотношений (3.14) для временных компонентов.

Пространственно-временные локальные коммутационные соотношения более формальны. Они должны обязательно содержать так называемые швингеровские члены (ШЧ), которые, по-видимому,

отражают опасности, возникающие при формальном обращении с такими сингулярными объектами, как операторы в квантовой теории поля. Не будем вдаваться в эти подробности, так как все приложения, которые будут здесь обсуждаться, основаны на локальных операторах для нулевых компонент токов или даже на более надежных проинтегрированных соотношениях (заряд—ток).

Отвлечемся теперь от кварковой модели и тех рассуждений, которые привели к коммутационным соотношениям (3.14), и рассмотрим эти соотношения как некоторые независимые гипотезы. Выполняются ли они в реальном мире? Чтобы выяснить это, необходимо научиться извлекать из данных абстрактных утверждений физические следствия, по возможности с минимумом приближений и дополнительных предположений. При непосредственном подходе можно преобразовать коммутационные соотношения в правила сумм. В связи с этим стоит напомнить известное правило сумм для силы осциллятора при дипольном излучении нерелятивистской системы. Для простоты рассмотрим электрон в одномерном потенциале. Пусть собственная энергия, состояния Вероятность электрического дипольного перехода между уровнями пропорциональна так называемой силе осциллятора:

Уровни энергии, состояния и, следовательно, сила осциллятора зависят от вида потенциала, в котором движется электрон. Тем не менее существуют соотношения, которые не зависят от вида потенциала и которые следуют из наиболее простого, коммутационного соотношения: . С помощью элементарных выкладок легко преобразовать это соотношение в правило сумм Томаса —

Однако из коммутаторов алгебры токов получить практические следствия не, так просто. Нахождение физического содержания в предположениях алгебры токов и будет одной из основных наших задач. В дальнейшем придется часто использовать понятие РСАС. Поэтому оставим на время алгебру токов и займемся РСАС.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление