Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Матричные степенные ряды

Рассмотрим степенной ряд

где -матрица, причем для простоты будем считать, что коэффициенты числа, вообще говоря, комплексные. Наряду с матричным рядом (1.9.1) рассмотрим скалярный степенной ряд

где и пусть его радиус сходимости.

Теорема 1. Матричный степенной ряд (1.9.1) сходится абсолютно для каждой матрицы X, для которой выполнено неравенство

Доказательство. Так как внутри круга сходимости степенной ряд (1.9.2) сходится абсолютно (см, [7]), то из неравенства вытекает сходимость ряда

Но в силу свойств нормы

Поэтому на основании признака сравнения степенной ряд (1.9.1) сходится абсолютно в данной точке

Следствие. Если скалярный степенной ряд (1.9.2) сходится для любого х (т. е. ), то соответствующий матричный ряд также сходится для любой квадратной матрицы Пусть

— функция, аналитическая в области

Теорема 2. Если определена для матрицы X, то она определена также для любой подобной матрицы причем справедлива формула

Доказательство. Пусть

Используя очевидные свойства подобных матриц

и

имеем

Отсюда, переходя к пределу при и учитывая, что

получаем формулу (1.9.5). Теорема доказана,

Рис. 1.

Теорема 3. Матричный степенной ряд

( скаляры) сходится, если все собственные значения матрицы X находятся внутри круга сходимости соответствующего скалярного ряда

т. е. еслы выполнены неравенства

где радиус сходимости ряда (1.9.7) (рис. 1).

Если же хотя бы одно собственное значение матрицы X лежит вне замкнутого круга сходимости то ряд (1.9.6) расходится (см. [8]).

Доказательство. 1) Пусть

— отрезок матричного ряда (1.9.6). Приводя матрицу X к жордановой форме (§ 5), будем иметь

где характеристические корни матрицы X, отвечающие различным элементарным делителям,

— соответствующие клетки Жордана и Отсюда, используя теорему 2 и свойства квазидиагональных матриц, получим

Далее, применяя бином Ньютона и правило возведения единичного косого ряда в степень (1.1.3), имеем

Так как

то

Поэтому

и, следовательно,

где порядок клетки Жордана так как

Отсюда при учитывая сходимость рядов (см. [6])

будем иметь

Поэтому на основании формулы (1.9.8) находим, что существует предел

и, значит, матричный степенной ряд (1.9.6) сходится.

2) Если некоторое лежит вне замкнутого круга сходимости то

не существует и поэтому ряд (1.9.6) расходится.

Следствие. Если собственные значения матрицы X лежат внутри круга сходимости скалярного ряда (1.9.7), то характеристическими корнями матрицы

являются числа

Если, сверх того,

то порядки соответствующих клеток Жордана матриц совпадают между собой (теорема Лаппо-Данилевского).

Этот результат непосредственно вытекает из формул (1.9.9), (1.9.10), а также из следствия 1 к теореме 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление