Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Почти периодические матрицы

Определение 1. Матрица

называется почти периодической, если все элементы ее являются п. п. функциями.

Используя норму матрицы (гл. I, § 4), можно дать другое определение п. п. матрицы.

Лемма. Матрица является почти периодической тогда и только тогда, когда для любого существует относительно

плотное множество чисел (s-почти периоды матрицы) таких, что

при (где под нормой понимается I, II или III норма матрицы, гл. I, § 4).

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условия (16.2), причем доказательство будем проводить для III нормы матрицы:

Доказательства для остальных норм аналогичны.

Пусть матрица типа произвольно. Для конечной совокупности п. п. функций существует относительно плотное множество общих -почти периодов (§ 3, лемма 1), т. е.

для

Отсюда

Таким образом, неравенство (16.2) выполнено.

2) Докажем достаточность условия. Предположим, что для некоторого относительно плотного множества зависящего от произвольного числа имеет место неравенство (16.2). Тогда

для любых . Следовательно, все функции почти периодические и, значит, матрица также почти периодическая. Лемма доказана.

Из определения 1 легко следует, что если матрицы и почти периодические, то матрицы (А — постоянная матрица), также почти периодические.

Естественно также для п. п. матрицы устанавливается понятие ряда Фурье

где

Для непрерывной матрицы легко обобщается понятие нормальности.

Определение 2. Матрица называется нормальной, если из любой последовательности

можно выбрать подпоследовательность

равномерно сходящуюся на всей действительной оси, т. е. существует матрица такая, что

при и причем, очевидно,

Обобщенная теорема Бохнера (см. [73]). Для почти периодичности непрерывной матрицы необходимо и достаточно, чтобы она была нормальной.

Доказательство. 1) Пусть -матрица

почти периодическая и

— произвольная последовательность ее сдвигов вдоль действительной оси. Так как все функции почти периодические, то в силу теоремы Бохнера (§ 17) из последовательности можно выделить равномерно сходящуюся последовательность

Далее, из последовательности выделяем равномерно сходящуюся подпоследовательность причем, очевидно, подпоследовательность также равномерно сходится. Так как число функций конечно, то, продолжая этот процесс, мы в конце концов получим подпоследовательность для которой все подпоследовательности

равномерно сходятся на оси

Следовательно, существует -матрица такая, что

причем предельная матрица почти периодическая,

2) Пусть теперь матрица нормальная. Тогда из теоремы Бохнера непосредственно вытекает, что все функции почти периодические. Отсюда на основании определения 1 получаем, что матрица также почти периодическая.

В дальнейшем нам придется иметь дело с семейством почти периодических по х матриц зависящих от параметра у.

Определение 3. Матрица называется почти периодической по х равномерно относительно параметра если для каждого существует относительно плотное множество общих, не зависящих от -почти периодов семейства , т.е. при всех илюбом имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление