Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Линейная система с постоянной матрицей и свободным почти периодическим членом

Рассмотрим систему

где -вектор, постоянная -матрица и почти периодический -вектор.

Мы будем изучать свойства решений ограниченных на всей действительной оси, т. е. таких, что

Лемма. Если скалярное уравнение

где комплексное число и функция, имеет ограниченное решение

то это решение почти периодическое.

Доказательство (см. [73]). Общее решение уравнения (17.3) имеет вид

где с — произвольная пострянная,

1) Пусть Тогда при Из формулы (17.4) вытекает, что для того, чтобы было ограниченным, необходимо, чтобы

Отсюда

причем, так как

где

то интеграл (17.5) сходится. Поэтому ограниченное решение существует и имеет вид

причем

Если есть -почти период функции то имеем

отсюда

Следовательно, функция почти периодическая.

2) Пусть Тогда при Аналогично случаю 1) получаем, что ограниченное решение имеет вид

и является почти периодическим.

3) Пусть и существует ограниченное решение

Тогда

ограничен и, следовательно, представляет собой п. п. функцию (§ 7). Таким образом, в этом случае все решения

ограничены и почти периодические.

Замечание. Если однородное уравнение

не имеет нетривиальных ограниченных на решений, т. е. то неоднородное уравнение (17.3) допускает единственное ограниченное и почти периодическое решение.

Если же однородное уравнение (17.6) имеет нетривиальные ограниченные решения, т. е. то неоднородное уравнение (17.3) или не имеет ограниченных на решений, или существует бесконечное множество ограниченных и почти периодических решений.

Обобщенная теорема Бора — Нейгебауэра. Всякое ограниченное решение линейной дифференциальной системы (17.1) с постоянной матрицей и почти периодическим свободным членом является почти периодическим.

Доказательство. Приведем доказательство Кордуняну [73]. С помощью неособенного преобразования

систему (17.1) можно перевести в систему с постоянной нижней треугольной матрицей

Имеем

где

— очевидно, п. п. вектор-функция.

Пусть

— ограниченное решение системы (17.1), тогда

будет являться ограниченным решением треугольной системы (17.7). Так как

то в силу леммы имеем, что функция почти периодическая. Далее, так как

то на основании леммы функция также почти периодическая. Продолжая это рассуждение, находим, что все функции являются почти периодическими, а следовательно, решения также почти периодические. Теорема доказана.

Следствие. Если корни характеристического уравнения

не имеют нулевых вещественных частей:

то система (17.1) допускает единственное почти периодическое решение (см. гл. IV, § 10).

В этом случае, предполагая, что

нетрудно построить ряд Фурье ограниченного п. п. решения

Формально подставляя (§ 10) эти ряды в систему (17.1), будем иметь

Отсюда

и, следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление