Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Квазилинейная почти периодическая система

Рассмотрим квазилинейную систему

где постоянная -матрица; -векторы; малый скалярный параметр, причем выполнено условие Липшица

( постоянная).

Теорема Бирюк [75]. Если

2) - почти периодична по

— почти периодична по равномерно по у на каждом компакте

то при где достаточно мало, система (18.1) допускает почти периодическое решение

Доказательство. В силу теоремы Боля (гл. V, § 10) система (18.1) при имеет равномерно ограниченное на оси решение удовлетворяющее интегральному уравнению

где матрица такова, что

(с и а — положительные постоянные). Пусть

Покажем, что при достаточно малом вектор-функция почти периодична по Пусть - общий почти период вектор-функции и семейства Из формулы (18.3) при имеем

Отсюда с учетом (18.2) и (18.4) получим

где

Поэтому

и, следовательно,

если только

Таким образом, при достаточно малом решение почти периодическое.

Замечание. Почти периодическое решение системы (18.1) может быть найдено методом последовательных приближений:

где

— единственное почти периодическое решение системы

и

Так как

то решение непрерывно по в окрестности точки и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление