Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Н-класс почти периодической системы

Рассмотрим нелинейную дифференциальную систему

где искомый действительный -вектор, данный -вектор. Предположим, что

где область действительного евклидова пространства причем равномерно непрерывна по на каждом замкнутом подмножестве , где компакт (т. е. ограниченное замкнутое множество) (рис. 65);

Рис. 65.

2) почти периодична по равномерно по х на любом

В этом случае в силу теоремы существования [11] для любых начальных данных будет существовать решение системы такое, что (вообще говоря, не единственное).

Из условия 1) и 2) вытекает, что ограничена на каждом множестве Действительно, пусть фиксировано и соответствующее положительное число, определяемое на основе равномерной непрерывности по х вектор-функции на Для каждой точки построим сферу Из бесконечного покрытия выберем конечное пол-покрытие

Так как вектор-функции почти периодические по то они ограничены (§ 2), и пусть

Для любой точки найдется сфера Поэтому

т. е. ограничена на

Пусть произвольная последовательность действительных чисел. Так как вектор-функция почти периодична по

то в силу обобщенной теоремы Бохнера (§ 16) для каждого существует подпоследовательность такая, что последовательность сходится равномерно по на оси . В силу условий 1) и 2) на множестве число для равномерной непрерывности по вектор-функции можно выбрать не зависящим от точки а длина для почти периодической вектор-функции может быть взята не зависящей от точки Поэтому, выбирая на множестве С всюду плотное множество точек по аналогии с доказательством обобщенной теоремы Бохнера (§ 16) легко доказать, что существует последовательность для которой последовательность сходится при равномерно по совокупности переменных на где данный компакт. Более того, полагая

где компакты, и используя диагональный процесс, можно построить последовательность которая будет сходиться равномерно на любом замкнутом множестве где компакт. В этом случае предельная функция

будет равномерно непрерывна по X на каждом множестве и почти периодична по равномерно по X на этом множестве и, следовательно, непрерывна по совокупности переменных на Пусть

где

В таком случае будем говорить, что система при сходится к системе

где обозначает последовательность что условно записывается следующим образом:

Близость систем и в точке будем оценивать абсолютной величиной

обладающей обычными свойствами. Заметим, что в силу предыдущих рассуждений сходимость

можно предполагать равномерной по совокупности переменных на каждом множестве где компакт.

Для краткости будем называть системы присоединенными к системе Заметим, что каждая присоединенная система, очевидно, является почти периодической и для нее справедливы условия и 2).

Определение (см. [76], [73]). Совокупность всех присоединенных систем соответствующих всем последовательностям для которых существуют равномерные пределы (19.1), будем называть -классом почти периодической системы т. е.

а всякую систему будем называть представителем -класса.

Таким образом, -класс системы является замыканием всех смещенных систем

Заметим, что в -класс системы входят все системы вида

так как в качестве последовательности можно выбрать сходящуюся последовательность

Отметим основное свойство -класса почти периодической системы

Лемма. Н-класс почти периодической системы определяется любым своим представителем т. е.

Доказательство. Пусть

и

т. е.

Имеем

при

Заменяя в неравенстве на будем иметь

при

Из неравенств (19.3) и (19.4) при получаем

т. е.

и, значит,

Таким образом,

Аналогично показывается, что

Следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление