Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Ограниченные решения почти периодических систем

Рассмотрим почти периодическую систему со свойствами 1) и 2).

Пусть ограниченное решение системы определенное в максимальном интервале и для всех принадлежащее некоторому компакту Тогда из известной теоремы существования решений системы дифференциальных уравнений вытекает, что решение бесконечно продолжаемо

влево и вправо, т. е. существует в бесконечном интервале причем

Определение. Следуя Америо [76], ограниченное решение почти периодической называется разделенным (separated) в данной области если или оно единственно в или для всякого другого ограниченного решения при выполнено неравенство

где положительная постоянная, зависящая только от (рис. 66). В дальнейшем мы будем придерживаться изложения Кордуняну [73].

Рис. 66.

Лемма 1. Если все ограниченные решения почти периодической системы разделены в где компакт, то в области существует лишь конечное число ограниченных решений.

Доказательство. Пусть множество всех ограниченных решений в Так как компакт, то множество функций равномерно ограничено, т. е.

Кроме того, имеем

где ограничена в (§ 19), и, значит,

Отсюда

Следовательно, множество функций равностепенно непрерывно.

Если множество бесконечно, то в силу теоремы Арцеля (гл. V, § 2) существует последовательность ограниченных решений такая, что

равномерно на каждом ограниченном интервале а причем предельная вектор-функция на основании непрерывной зависимости решений от параметра есть ограниченное решение системы как

то решение не является разделенным в Лемма доказана.

Лемма 2. Если почти периодическая система допускает ограниченное решение при где компакт, то любая присоединенная система также имеет ограниченные решения при

Доказательство. Пусть правая часть системы есть

где

и . Рассмотрим последовательность вектор-функций

где, очевидно,

причем

Эта последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Следовательно, существует предел некоторой ее подпоследовательности

Очевидно, является ограниченным решением системы при

Лемма 3. Если почти периодическая система допускает положительно ограниченное решение при где некоторый компакт, то каждая присоединенная система имеет ограниченное решение при

Доказательство. Рассмотрим множество вектор-функций

Очевидно, есть решение системы

определенное в промежутке причем при Поэтому для любого промежутка существует подпоследовательность для которой последовательности являются сходящимися при равномерно по в каждой области Полагая диагональным процессом построим последовательность такую, что на всей оси имеем

равномерно на каждом ограниченном интервале причем

Отсюда при является ограниченным решением системы

входящей в -класс системы . А так как (§ 19, лемма) -класс системы совпадает с -классом системы то в силу леммы 2 всякая присоединенная система также будет иметь ограниченное решение при

Лемма 4. Если почти, периодическая система имеет ограниченное решение при и все ограниченные решения при присоединенных систем являются разделенными в ( - компакт), то они равноразделенные в т. е. существует число общее для всего класса и такое, для любых двух различных ограниченных решений и произвольной системы выполнено неравенство

Доказательство. В силу леммы 1 система имеет конечное число ограниченных решений содержащихся при в компакте причем

Рассмотрим ограниченные решения произвольной системы такие, что . В силу леммы 2 эти решения существуют, а так как они по условию леммы являются разделенными, то число их конечно. Так как то для некоторой последовательности существуют пределы

равномерно на каждом конечном интервале Вектор-функции являются ограниченными решениями присоединенной системы содержащимися при в компакте Очевидно, при имеем

и, следовательно,

Таким образом, ограниченные решения попарно различны и, значит, Так как (§ 19) то аналогично имеем отсюда т. е. число ограниченных решений целиков содержащихся в компакте для всех присоединенных систем одно и то, же, причем все эти решения могут быть получены по формуле (20.2). Отсюда на основании неравенства (20.3) вытекает справедливость леммы.

Замечание. Если ограниченные решения почти периодической системы разделены в области то отсюда еще не следует, что в этой области являются разделенными и ограниченные решения всех присоединенных систем

Пример (см. [77], [67]). Рассмотрим скалярное уравнение

где

Так как ряд (20.5) равномерно сходится на всей действительной оси то — почти периодическая функция (§ 4), Интегрируя уравнение (20.4), будем иметь

где

Пусть произвольное натуральное число и

Так как все члены ряда (20.7) неотрицательны, то, учитывая, что имеем

Следовательно, функция положительна и неограничена на оси Отсюда на основании формулы (20.6) уравнение (20.4) имеет единственное ограниченное решение

соответствующее Таким образом, решение является разделенным в любой области

С другой стороны, для последовательности функций принимая во внимание, что целое

причем при Отсюда

и поэтому уравнение

является присоединенным к (20.4). Общее решение уравнения (20.8) имеет вид

причем

и

Таким образом, все решения уравнения (20.8) ограничены, но, очевидно, не являются разделенными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление