Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Теоремы Америо и Фавара

Теорема Америо (см. [76]). Если почти периодическая система

имеет ограниченное решение содержащееся в некотором компакте при причем ограниченные решения из всех присоединенных систем разделены в (§ 20), то все эти ограниченные решения почти периодические.

Доказательство [73]. Пусть ограниченное решение системы такое, что при Чтобы убедиться в почти периодичности этого решения, достаточно доказать, что вектор-функция нормальная, т. е. из любой последовательности ее сдвигов можно выделить подпоследовательность равномерно сходящуюся на всей действительной оси —

Предположим противное. Пусть существует последовательность сходящаяся равномерно на каждом конечном промежутке (этого всегда можно добиться в силу теоремы Арцеля), причем любая ее подпоследовательность не сходится равномерно на бесконечной оси Так как почти периодическая, то на основании теоремы Бохнера можно предполагать, что последовательность сходится равномерно на

Пусть положительное число, характеризующее равноразделенность ограниченных решений систем

(лемма 4 из § 20). Если ограниченное решение единственно, то число можно взять произвольным. Положим

и

Так как последовательность сходится в каждой точке то при достаточно больших ряд множество не пусто, причем

Очевидно, непрерывна на

Пусть

Если

то последовательность сходится равномерно на оси Действительно, при условии (21.1) для любого где имеем

Отсюда если причем если Но функция непрерывна на поэтому при следовательно, сходится равномерно на . В этом случае теорема доказана.

Предположим противное, т. е. что соотношение (21.1) не имеет места. Тогда

и, следовательно, найдутся последовательности такие, что

Отсюда в силу определения функции вытекает, что существует последовательность для которой

и, значит,

Так как ограничена, то из последовательностей можно выбрать одновременно сходящиеся подпоследовательности:

и

где Переходя к пределу в неравенстве (21.3) по последовательности будем иметь

Рассмотрим последовательности Так как эти последовательности равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, то по теореме Арцеля (гл. V, § 2) из них можно выделить подпоследовательности, сходящиеся равномерно на каждом конечном интервале Чтобы не усложнять обозначений, мы будем предполагать, что сами эти последовательности сходятся, т. е. существуют

и

Вектор-функции являются, соответственно, решениями присоединенных систем

и

где

и

причем опять предполагается, что в случае надобности выбрана равномерно сходящаяся на подпоследовательность.

Покажем, что пределы (21.5) и (21.6) совпадают. Действительно, так как согласно нашему выбору последовательность сходится равномерно на суть подпоследовательности последовательности то

и

при и Отсюда

если и

Следовательно,

Таким образом, являются ограниченными решениями одной и той же присоединенной системы в области Так как

и

причем на основании неравенства (21.4) имеем

то эти решения различны. Поэтому в силу выбора числа должно быть выполнено неравенство

Однако это противоречит неравенству. (21.7). Теорема доказана.

Следствие. Если почти периодическая система имеет единственное ограниченное решение и все системы ее -класса также обладают единственными ограниченными решениями, то все эти ограниченные решения почти периодические. Рассмотрим линейную однородную систему

где почти периодическая матрица, и пусть

где

— ее Н-класс.

Теорема Фавара (см. [77], [67]). Если каждая присоединенная система не имеет ограниченных нетривиальных решений, то для любой неоднородной системы

где почти периодическая вектор-функция, ее ограниченное решение, если оно существует, является почти периодическим. Доказательство. -класс системы имеет вид

где

и

Так как разность двух решений неоднородной системы представляет собой решение однородной системы то в силу услозий теоремы любая система имеет единственное ограниченное решение. Отсюда на основании следствия к теореме Америо получаем, что ограниченное решение системы если оно существует, является почти периодическим.

Замечание. В условиях теоремы единственные ограниченные решения присоединенных систем также будут почти периодическими.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление