Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ. ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ

1°. Прямая сумма линейных подпространств. Пусть -мерное векторное пространство (гл. I, § 5), элементами которого являются комплексные -векторы:

где координаты вектора х в некотором базисе.

Определение 1. Подмножество называется подпространством линейного пространства если оно само является линейным пространством относительно введенных в основных операций умножения на число и сложения, т. е. из условия следует, что где произвольные комплексные числа.

Заметим, что любое подпространство содержит нулевой элемент 0, так как если то

Пример. Совокупность векторов

где А — -матрица, очевидно, представляет собой подпространство в

В частности, при будем иметь так называемые несобственный подпространства

Отметим, что сумма подпространств

где а также их пересечение

суть также подпространства в

Пусть максимальное число линейно независимых векторов, содержащихся в линейном подпространстве В таком случае

где произвольные комплексные числа, является базисом для Число называется размерностью подпространства т. е.

где

Обратно, множество

натянутое на векторы комплексные числа), является линейным подпространством, причем если данные векторы линейно независимы, то размерность подпространства равна

Определение 2. Линейное пространство называется прямой суммой (см. [5]) линейных подпространств

если каждый вектор допускает единственное представление

где .

Из определения 2 вытекает, что соотношение (1) выполнено тогда и только тогда, когда нулевой вектор не допускает нетривиального разложения

где причем не все векторы нулевые.

Очевидно, из (1) следует, что

Обратно, если для слагаемых суммы (1) попарно выполнены условия (2), то сумма (1) прямая.

Теорема 1. Если линейное пространство представляет прямую сумму подпространств

то объединение любых базисов этих подпространств является базисом пространства

Обратно, если объединение некоторых базисов подпространств есть базис пространства то представляет собой прямую сумму этих подпространств.

Доказательство. 1) Докажем сначала первую часть теоремы, причем доказательство будем проводить для прямой суммы двух подпространств

размерностей Переход к общему случаю, очевидно, не представляет затруднений.

Пусть некоторые базисы, соответственно, подпространств Из формулы (3) следует, что для любого вектора справедливо представление

где Отсюда

где координаты векторов в соответствующих базисах. Так как представление (5) единственно, то векторы линейно независимы и образуют базис пространства

2) Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть для подпространств и существуют базисы и объединение которых есть базис пространства Тогда для каждого справедливо разложение - (5), и это разложение единственно. Но в таком случае имеет место единственное представление (4) и, следовательно, есть прямая сумма подпространств

Следствие. Сумма подпространств

является прямой тогда и только тогда, когда

Определение 3. Пусть

— вложенные подпространства линейного пространства

Векторы из будем называть линейно независимыми относительно подпространства (см. [10]), если 1) они линейно независимы и 2) подпространство, натянутое на эти векторы, имеет с лишь нулевое пересечение, т. е.

тогда и только тогда, когда

Заметим, что векторы линейно независимые относительно являются линейно независимыми в обычном смысле.

Теорема 2. Пусть

цепочка вложенных друг в друга различных подпространств и

— максимальная система векторов из линейно независимых относительно Тогда объединение всех систем (7) представляет базис пространства

Доказательство. Прежде всего, заметим, что полная совокупность векторов (7) является набором линейно независимых векторов пространства Действительно, пусть

где при и для некоторого Тогда в силу соотношения (8) представляет ненулевой элемент из подпространства, натянутого на векторы принадлежащий подпространству что невозможно.

Докажем теперь, что векторы (7) образуют базис пространства Доказательство будем проводить методом математической индукции по числу элементов цепочки (исключая Если т. е.

то векторы (7) представляют собой максимальную систему линейно независимых векторов в следовательно, образуют его базис.

Предположим теперь, что теорема верна для любой цепочки вложенных подпространств

содержащей элементов отличных от нуля. Иными словами, мы предполагаем, что базис подпространства может

быть построен указанным выше способом. Пусть Можно предполагать, что векторы

линейно независимы, ибо в противном случае вектор х являлся бы линейной комбинацией векторов следовательно, теорема была бы доказана. Подпространство

натянутое на векторы (9), в силу свойства максимальности системы (7) имеет с подпространством ненулевое пересечение

где, очевидно, Но на основании индукционного предположения для подпространства теорема верна, т. е. представляет собой линейную комбинацию векторов Таким образом, из (10) получаем, что произвольный вектор может быть выражен в виде линейной комбинации векторов

Отсюда вытекает, что система векторов (7) есть базис пространства что и требовалось доказать.

Следствие. Для каждого подпространства линейного пространства существует дополнительное подпространство такое, что

Действительно, имеем

В пространстве выберем максимальную совокупность векторов линейно независимую относительно и пусть максимальная совокупность векторов, линейно независимых относительно 0, т. е. линейно независимых в обычном смысле. Объединение

в силу теоремы 2 представляет базис пространства поэтому

Отсюда

где подпространство, натянутое на векторы

2° Инвариантные подпространства. Пусть в векторном пространстве задано линейное преобразование (гл. I, § 5), переводящее в самое себя или в свою правильную часть, т. е.

Определение 4. Подпространство называется инвариантным относительно преобразования А, если каждый вектор преобразованием А переводится в вектор т. е.

Очевидно, нулевое подпространство и само пространство инвариантны относительно любого линейного преобразования в

Кроме того, сумма и пересечение подпространств пространства инвариантных относительно линейного преобразования суть также подпространства, инвариантные относительно преобразования

Если в пространстве выбран базис и

то преобразованию соответствует матрица (матрица преобразования в данном базисе, гл. I, § 5)

Матрица очевидно, является транспонированной относительно матрицы системы (11). Отметим, что если то представляет собой координату преобразованного базисного вектора.

Отсюда для любого вектора

имеем

Таким образом, вектор в данном базисе будет иметь представление

где А — матрица преобразования.

Теорема 3. Если линейное пространство распадается в прямую сумму нескольких подпространств:

инвариантных относительно данного линейного преобразования А в то в надлежащем базисе матрица А этого преобразования имеет квазидиагональный вид

где квадратные матрицы, соответственно, порядков

Доказательство (см. [5]). Выберем в подпространствах соответственно базисы:

Тогда в силу теоремы 2 их объединение будет базисом пространства Так как

при

Отсюда, полагая

будем иметь формулу (13).

Замечания. Матрицу можно рассматривать как матрицу преобразования индуцируемого данным

преобразованием А на инвариантном подпространстве иными словами, преобразование есть преобразование А, рассматриваемое лишь на подпространстве

3° Алгебра преобразований. Пусть преобразования, действующие из в Для естественно определяются комбинированные преобразования (см. гл. I, § 5):

a) произведение преобразования А на скаляр а:

(в частном случае, если имеем нулевое преобразование

b) сумма преобразований

c) произведение преобразований

и

В общем случае

Вводя единичное преобразование

можно определить обратное преобразование как преобразование (если оно существует), удовлетворяющее условию:

Если существует, то легко проверить, что

Обычным способом определяются целые степени преобразований:

причем

Очевидно, при любых целых имеем

Используя понятие степени преобразования для заданного полинома

с числовыми коэффициентами можно найти соответствующее преобразование

где

Покажем, что если преобразование А линейное (гл. I, § 5), то полиномиальное преобразование также линейное. Действительно, для любых и произвольных чисел имеем

Отсюда, умножая эти равенства на коэффициенты и почленно складывая, получим

т. е. преобразование линейное.

Отметим, что если преобразования линейные, то алгебраическим операциям над этими преобразованиями соответствуют такие же алгебраические операции над их матрицами (в одном и том же базисе).

4° Первая теорема приведения. Пусть линейное преобразование, действующее из в и -матрица этого преобразования в некотором базисе. Многочлен

называется характеристическим полиномом преобразования (или матрицы А), а его корни — характеристическими числами (или собственными значениями) преобразования (а также матрицы А).

Как известно, характеристический полином, а следовательно, и характеристические корни преобразования не зависят от выбора базиса.

Согласно теореме Кейли (гл. I, § 10) матрица является корнем своего характеристического полинома, т. е. полином аннулирует матрицу А:

Так как алгебра линейных преобразований вполне аналогична алгебре матриц, то преобразование А также является корнем своего характеристического полинома, т. е.

Поэтому полином может быть назван полиномом, аннулирующим преобразование А.

Ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию

где X — некоторое число, называется собственным вектором преобразования А, отвечающим его собственному значению X (ср. гл. I, § 5).

Если А есть матрица данного преобразования А в некотором базисе, то собственные векторы преобразования А в этом базисе могут быть определены как нетривиальные решения однородной линейной системы Поэтому все собственные значения X преобразования А являются корнями векового уравнения

причем для каждого корня существует один или несколько линейно независимых соответствующих собственных векторов преобразования А.

Пусть различные собственные значения преобразования их кратности Тогда, очевидно, имеем

и, следовательно,

Определение 5. Совокупность всех векторов удовлетворяющих условию:

где кратность характеристического корня будем называть корневым подпространством преобразования принадлежащим его собственному значению

Замечание. Для любого собственного значения преобразования принадлежащее ему корневое подпространство содержит собственные векторы этого преобразования, отвечающие следовательно, не сводится к нулевому вектору. Действительно, если

то имеем

и, следовательно,

Заметим, что корневое пространство не содержит собственных векторов преобразования А, отвечающих его собственным значениям отличным от . В самом деле, если

где

и, следовательно,

Таким образом, преобразование на каждом его корневом подпространстве имеет единственное ственное значение

Лемма 1. Для всякого линейного преобразования его любое корневое подпространство является подпространством пространства инвариантным относительно данного преобразования А.

Доказательство. Пусть корневое пространство линейного преобразования, принадлежащее его собственному значению т. е. множество всех векторов удовлетворяющих условию (17). Для любых и произвольных чисел имеем (см. 3°)

Следовательно, т. е. есть подпространство пространства

Подпространство инвариантно относительно преобразования так как, учитывая перестановочность преобразований при получаем

Теорема 4 (первая теорема разложения). Комплексное векторное пространство представляет собой прямую сумму инвариантных корневых подпространств любого своего линейного преобразования принадлежащих всем его различным собственным значениям

Доказательство (см. [5]). Пусть из (14) — характеристический полином преобразования Разлагая дробь на простейшие, будем иметь

где некоторые постоянные. Отсюда находим

где целые полиномы, причем дроби несократимые, т. е. Таким образом, получаем тождество

где

— также целые полиномы.

Для любого вектора положим

Так как на основании формулы (18) имеем

то

и, следовательно, справедливо разложение

Пусть корневое подпространство преобразования А, отвечающее его собственному значению

Покажем, что Действительно, используя формулы (19) и (20), на основании теоремы Кейли получаем

Докажем, что разложение (22) на компоненты единственно. Действительно, пусть, кроме (22), имеем

где Учитывая, что при справедливо соотношение

и используя формулы (21) и (20), будем иметь

Таким образом, всякий вектор единственным образом может быть представлен в виде суммы (22), где следовательно, пространство является прямой суммой корневых подпространств:

где

Следствие 1. Если линейное преобразование имеет единственное собственное значение то пространство 8! является корневым для А, принадлежащим т. е.

Следствие 2. Размерности корневых подпространств совпадают с кратностями соответствующих собственных значений

Доказательство будем проводить методом индукции относительно числа собственных значений преобразования а.

Если преобразование а допускает единственное собственное значение то его характеристический полином имеет вид

Отсюда кратность корня есть и эта кратность совпадает с размерностью единственного корневого подпространства

Пусть теперьа наше утверждение верно для линейных преобразований В любого линейного пространства допускающих различных собственных значений

В пространстве рассмотрим линейное преобразование а, имеющее различных собственных значении с кратностями, соответственно, где

Пусть корневое подпространство преобразования а, принадлежащее собственному значению Прямая сумма

представляет собой некоторое линейное подпространство на котором на основании приведенного выше замечания преобразование а имеет лишь различных собственных значений В таком случае в силу индукционного предположения получим

Кроме того, как было доказано, имеем

поэтому

Отсюда, учитывая формулу (25), получаем

и, таким образом, наше утверждение доказано.

Следствие 3. Если линейное преобразование А рассматривать на его корневом подпространстве принадлежащем собственному значению то характеристический полином этого преобразования имеет вид

где кратность корня

Формула (26) вытекает из того обстоятельства, что на корневом подпространстве преобразование а имеет единственное собственное значение , причем размерность равна

На основании первой теоремы разложения (теорема 4) и теоремы 3 получаем первую теорему приведения:

Теорема 4. Всякую -матрицу А, имеющую различные собственные значения с соответствующими кратностями путем преобразования подобия с некоторой неособенной матрицей можно привести к квазидиагональному виду:

где квадратная матрица порядка допускающая единственное собственное значение т. е. такая, что ее характеристический полином имеет вид

Таким образом, остается изучить структуру квадратных матриц, обладающих единственным собственным значением.

5° Вторая теорема приведения. Для изучения структуры корневых подпространств линейного преобразования введем понятие циклического пространства.

Определение 6. Линейное пространство называется циклическим относительно его линейного преобразования если некоторая цепочка векторов

образует базис этого пространства (циклический базис).

Это определение дословно переносится на инвариантное подпространство.

Лемма 2. Если А — линейное преобразование в с единственным собственным значением X и пространство циклическое относительно преобразования

то матрица А преобразования А в циклическом базисе

представляет собой клетку Жордана

соответствующую числу X.

Доказательство. Так как пространство, является корневым подпространством для преобразования А, принадлежащим собственному значению X, то

(см. следствие 1 теоремы 4).

Из соотношений (27), полагая имеем

поэтому

Следовательно, матрица преобразования А в базисе (27) представляет клетку Жордана (28).

Теорема 5 (вторая теорема разложения). Пусть — корневое подпространство линейного преобразования принадлежащее его собственному значению Тогда разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств

циклических относительно

Доказательство. Пусть Положим

где определяется формулой (29). Очевидно, имеем

причем подпространства в инвариантные относительно преобразования Пусть

— все векторы из линейно независимые относительно (определение 3), т. е. векторы (30) линейно независимы и подпространство, натянутое на них, имеет с нулевое пересечение, причем число их максимально. Положим

Тогда векторы и линейно независимы относительно при

Действительно, имеем

т. е.

Далее, векторы линейно независимы, так как, если

то

Отсюда, учитывая, что векторы (30) линейно независимы относительно находим

т. е.

и, таким образом, векторы (31) линейно независимы. Наконец, пусть

Тогда

и, следовательно,

Но векторы линейно независимы относительно поэтому

т. е. таким образом, векторы линейно независимы относительно

Пусть подпространство в наивысшей размерности, содержащее ненулевые векторы, линейно независимые относительно Такое подпространство существует, так как преобразование А на инвариантном подпространстве имеет по меньшей мере один собственный вектор , соответствующий собственному значению т. е.

который, очевидно, входит в и является линейно независимым относительно

В подпространстве построим максимальную систему векторов

линейно независимых относительно подпространства Как было показано выше, векторы

принадлежат подпространству и линейно независимы относительно Дополним эту систему, если это необходимо, до максимальной системы векторов

линейно независимых относительно

Продолжая этот процесс дальше, мы в каждом подпространстве будем иметь максимальную систему векторов

линейно независимых относительно причем справедливы соотношения

Согласно теореме 2 объединение всех векторов (32) представляет собой базис подпространства Каждый из этих базисных векторов такой, что порождает полную цепочку (серию векторов)

которая является циклическим базисом подпространства размерности натянутого на векторы цепочки, причем , очевидно, инвариантно относительно преобразования

Нумеруя эти циклические подпространства и учитывая, что объединение их базисов является базисом подпространства на основании теоремы 1 получаем, что представляет собой прямую сумму:

что и требовалось доказать.

Замечание. Из данной конструкции построения базиса подпространства вытекает, что в сумме (35) имеется ровно слагаемых для которых

причем максимальная размерность подпространства равна

Теорема 5 (вторая теорема приведения). Пусть -матрица А имеет единственное собственное значение Тогда эту матрицу с помощью преобразования подобия с неособенной матрицей можно привести к квазидиагональному виду

где

— клетки Жордана различных порядков

Формула (36) непосредственно вытекает из разложения (35), теоремы 3 и леммы 2.

Объединяя первую и вторую теоремы приведения (теоремы 4 и 5), получаем следующий результат.

Теорема 6. Всякая -матрица подобна некоторой матрице

имеющей жорданову форму

где различные собственные значения матрицы А,

и

— клетка Жордана с собственным значением причем каждому собственному значению кратности матрицы А соответствует одна или несколько клеток Жордана порядка где

и

Число клеток Жордана, отвечающих собственному значению совпадает с максимальным числом линейно независимых собственных векторов матрицы А, соответствующих значению

Замечание. Если матрица действительная, то базис, в котором она имеет жорданову форму (37), можно выбрать так, что составляющие циклические базисы, соответствующие действительным собственным значениям, будут действительны, а комплексно-сопряженным — комплексно-сопряженные

Укажем один из способов нахождения элементарных делителей данной квадратной матрицы порядка Рассмотрим -матрицу

Пусть ранг матрицы наибольший общий делитель ее миноров порядка, где положено Функция

являющаяся целым полиномом, называется инвариантным множителем матрицы (см. [82]).

Если различные характеристические корни матрицы то можно доказать справедливость разложения

где множители не сводящиеся к постоянным величинам, являются элементарными делителями матрицы Последнее разложение дает возможность эффективно вычислять элементарные делители данной матрицы.

Упражнение. Пусть действительная ее комплексные собственные значения, а ее действительные собственные значения. Доказать, что тогда матрицу с помощью действительной неособенной матрицы можно представить в виде

где

причем (см. [17])

и

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление