Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Тождество Кейли и формула Сильвестра

Пусть X -матрица и

— ее характеристический полином.

Теорема. Всякая квадратная матрица X удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е.

(тождество Кейли).

Доказательство. Действительно, пусть

где клетки Жордана и Так как аналитическая функция, то на основании формулы (1.9.10) имеем

Если характеристический корень матрицы X кратности а то

Поэтому, учитывая, что порядок соответствующей клетки Жордана в силу формулы (1.9.9) будем иметь

и, следовательно,

Теорема доказана. Пусть

— аналитическая функция, определяемая степенным рядом со скалярными коэффициентами

Рассмотрим соответствующую матричную функцию

Положим, что собственные значения матрицы X различны и удовлетворяют условию

Построим интерполяционный полином Лагранжа

такой, что

Тогда разность есть аналитическая функция, имеющая нули следовательно, ее можно представить в виде

где аналитическая функция в круге Отсюда получаем

где

Так как матрицы и содержат степени только одной матрицы X, то они коммутируют между собой и, следовательно, тождество (1.10.3) останется в силе, если вместо скаляра х подставим матрицу Таким образом, имеем

Но в силу тождества Кейли

Поэтому из равенства (1.10.4) получаем формулу Сильвестра (см. [8])

причем предполагается, что характеристические корни матрицы X различны. Формула Сильвестра дает

представление аналитической функции в виде полинома от матрицы

Замечание. Если среди собственных значений матрицы X имеются кратные, то формула Сильвестра имеет более сложный вид (см. [1], [8]), который может быть получен соответствующим предельным переходом из формулы (1.10.5).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление