Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Нормальная форма экспоненциала матрицы

Пусть А — квадратная матрица. Рассмотрим экспоненциал более общего вида

где числовой множитель (параметр). Обозначим через

собственные значения матрицы А, отвечающие различным клеткам ее канонической формы Жордана, и пусть соответственно, порядки этих клеток. Тогда

где некоторая неособенная матрица

Воспользовавшись формулой (1.12.1) и учитывая известные свойства квазидиагональных матриц, имеем

Так как

где единичная матрица порядка и — ее первый единичный косой ряд, то

Как известно,

причем

Поэтому из формулы (1.13.3) окончательно получаем

где

Формулы (1.13.2) и (1.13.4) и дают нормальную форму матрицы.

Заметим, что формулу (1.13.4) можно было непосредственно получить из общих формул (1.9.9) и (1.9.10).

Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) при вытекает, что если собственные значения матрицы А, то являются собственными значениями матрицы причем, так как порядки соответствующих клеток Жордана матриц одинаковы (§ 9, теорема 3, следствие).

Пример. Написать нормальный вид матрицы где

Так как матрица А в данном случае есть клетка Жордана, на основании формулы получаем

Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) можно получить оценку нормы матрицы Пусть

Используя 1 норму или II норму, на основании формулы (1.13.2) при получаем

где некоторый целый полином степени

Так как при любом имеем

то из формулы (1.13.5) находим

где некоторая положительная постоянная.

Оценка вида (1.13.6) имеет место также и для III нормы. Отметим, что если характеристические числа матрицы обладающие наибольшими вещественными частями а, имеют простые элементарные делители, то при справедлива улучшенная оценка:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление