Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Некоторые свойства экспоненциала матрицы

Найдем На основании формулы (1.13.2) получаем

Так как в силу формулы (1.13.4), очевидно, имеем

то

где

Собственные значения являются корнями векового уравнения

или

Отсюда получаем

Так как выражение очевидно, представляет собой сумму всех корней уравнения (1.14.2), где каждый корень берется слагаемым столько раз, какова его кратность, то

Таким образом, из формулы (1.14.1) имеем

где

— след матрицы А.

Найдем производную матричной функции по параметру Так как элементы матрицы

представляют собой целые функции от то законно почленное дифференцирование ряда (1.14.3) по следовательно, имеем

Из формулы (1.14.4) вытекает, что матрица

удовлетворяет дифференциальному уравнению

причем

В более общем случае, если -матрица коммутирует со своей производной получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление