Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Логарифм матрицы

Определение. Пусть X — квадратная матрица. Матрица , удовлетворяющая условию

называется логарифмом матрицы X и обозначается следующим образом:

Теорема. Всякая неособенная матрица X имеет логарифм. Доказательство (см. [6]). 1) Пусть сначала клетка Жордана порядка соответствующая собственному значению , причем так как предполагается, что матрица неособенная. Имеем

где — первый единичный косой ряд.

По аналогии с известным логарифмическим разложением

рассмотрим матрицу

где

Так как при то ряд (1.15.2) сходящийся и матрица Y всегда имеет смысл.

На основании формулы (1.15.1) при справедливо тождество

из которого вытекает, что коэффициенты при одинаковых степенях степенных разложений левой и правой частей равенства (1.15.3) совпадают между собой. Так как квадратная матрица коммутирует со своими степенями, то степенное разложение левой части равенства (1.15.3) формально совпадает с соответствующим матричным степенным разложением

где принято Поэтому, если матричный ряд сходится, то имеет место тождество

Отсюда, учитывая, что матрица перестановочна с любой матрицей того же порядка, и используя основное свойство экспоненциала матрицы, будем иметь

Следовательно.

Таким образом, принимая во внимание, что при и при окончательно получим

2) Пусть теперь X — произвольная неособенная матрица. Приводя X к канонической форме Жордана, будем иметь

где неособенная матрица и соответствующие клетки Жордана. Можно принять

где определяются по формуле (1.15.5).

Действительно, аналогично формуле (1.13.2) имеем

что и подтверждает формулу (1.15.6). Теорема доказана.

Замечание 1. Из формул (1.15.6) и (1.15.5) следует, что есть функция многозначная.

Замечание 2. На основании следствия теоремы 2 из § 6 и из формул (1.15.5) и (1.15.6) вытекает, что если суть собственные значения неособенной матрицы X, то являются собственными значениями матрицы причем имеют одинаковые порядки соответствующих клеток Жордана.

Замечание 3. Если -матрица X действительная и положительно определенная, т. е. все собственные значения ее положительны, то имеется вещественная матрица приводящая ее к жордановой форме. В этом случае, как видно из формулы (1.15.6), для матрицы X существует действительный

Пример. Найти где

Используя формулу (1.15.5), получаем

Нетрудно убедиться, что если неособенные матрицы коммутируют между собой, т. е.

то

где ветви логарифмов выбираются соответствующим образом.

Упражнения к главе I

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление