Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ 1. Основные понятия теории устойчивости

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

где независимое переменное (время); искомые функции; функции (в общем случае комплекснозначные), определенные в некотором полуцилиндре:

причем число или символ — открытая область действительного или комплексного -мерного векторного пространства. В дальнейшем для краткости систему будем называть дифференциальной.

Переходя к матрично-векторным обозначениям

и учитывая, что

систему (2.1.1) можно записать в виде матрично-векторного уравнения

Действительную или комплекснозначную вектор-функцию определенную в некотором интервале

и удовлетворяющую при уравнению (2.1.2), будем называть его решением.

В дальнейшем будем обычно предполагать, что

т. е. вектор-функция в области непрерывна по независимой переменной и имеет непрерывные частные производные первого порядка по зависимым переменным Если система (2.1.1) рассматривается в действительном пространстве то производные правой части ее трактуются в обычном смысле. В том случае, когда у может принимать комплексные значения, функцию будем предполагать аналитической относительно совокупности комплексных переменных (в простейшем варианте — многочленом от этих переменных). При этом под производными понимаются производные с точки зрения теории аналитических функций (см., например, Гурса, Курс математического анализа, Гостехиздат, 1933, т. II, ч. 1, гл. XVII).

При этих условиях справедлива теорема Коши (см. [9], [10], [11]): для каждой системы значений существует единственное решение системы (2.1.2):

определенное в некотором интервале и удовлетворяющее начальному условию: т. е. однозначно разрешима соответствующая задача Коши. Иначе говоря, в области существует единственная интегральная кривая системы (2.1.2), проходящая через точку

Рис. 2.

Заметим, что если для любого точка причем расстояние ограниченного замкнутого множества (компакта) К до границы области положительно (рис. 2), то можно принять т. е. решение имеет смысл при (бесконечно продолжаемо вправо). Аналогично при формулируются условия бесконечной продолжаемости влево

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением дифференциальных систем вида (2.1.2), обладающих свойством единственности, т. е. таких, для которых задача Коши при начальных данных имеет единственное решение. Иными словами, если

есть решение системы (2.1.2), то оно тождественно при с решением этой системы определяемым начальными условиями: где любая точка интервала

Решение можно рассматривать как траекторию фазового пространства где играет роль параметра.

Для дифференциальных систем с непрерывной правой частью и свойством единственности имеет место интегральная непрерывность решений (см. [9] - [12]), а именно: если есть решение системы (2.1.2), то для любых существует такое, что решение определяемое начальным условием где будет иметь смысл при причем для (см. рис. 3).

Рис. 3.

Определение 1. Решение системы (2.1.2) называется устойчивым по Ляпунову (см. [13]) при (или, короче, устойчивым), если для любых существует такое, что все решения системы (2.1.2) (включая решение ), удовлетворяющие условию

определены в промежутке т. е.

2) для этих решений справедливо неравенство

Иными словами, решение устойчиво, если достаточно близкие к нему в любой начальный момент решения целиком погружаются в сколь угодно узкую -трубку, построенную вокруг решения (рис. 4).

Рис. 4.

Из неравенств (2.1.3) И (2.1.4) по смыслу вытекает, что всегда можно выбирать

В частности, при тривиальное решение (положение равновесия) устойчиво, если для любых существует такое, что из неравенства

следует неравенство

Заметим, что из устойчивости нетривиального решения не вытекает его ограниченность; обратно, из ограниченности решения, вообще говоря, не следует его устойчивость (см. § 7).

Определение 2. Если число можно выбрать независящим от начального момента т.е. то устойчивость называется равномерной в области

Определение 3. Решение будем называть неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых и любого существует решение (хотя бы ) и момент такие, что

Из отрицания определения 1 вытекает, что следует считать также неустойчивым решение непродолжаемое при со или такое, для которого в любой окрестности точки

найдется точка порождающая в момент времени решение непродолжаемое при .

Аналогично, тривиальное решение (положение равновесия) неустойчиво (рис. 5), если для некоторых и любого существуют решение и момент такие, что

Рис. 5.

Определение 4. Решение называется асимптотически устойчивым при если: 1) это решение устойчиво по Ляпунову и 2) для любого существует такое, что все решения удовлетворяющие условию обладают свойством

Таким образом, асимптотическая устойчивость есть «устойчивость с нагрузкой», т.е. устойчивость при наличии дополнительных условий. В частности, тривиальное решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и

Шар при фиксированном является областью притяжения положения равновесия О.

Определение 5. Пусть система (2.1.2) определена в полупространстве

Если решение асимптотически устойчиво при и все решения обладают свойством (2.1.5), т. е. то решение называется асимптотически устойчивым в целом.

Иными словами, в случае асимптотической устойчивости в целом решения его областью притяжения в любой начальный момент является пространство

Пусть наряду с системой (2.1.2) имеется возмущенная система

где

Определение 6. Решение системы (2.1.2) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях если для любых существует такое, что при все решения системы (2.1.6), удовлетворяющие условию определены на промежутке причем

Замечание. Если решение системы (2.1.1) с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента то оно будет устойчиво для любого другого момента является устойчивым в смысле определения 1.

Действительно, пусть при

имеем

В силу свойства интегральной непрерывности существует такое, что если

то

Поэтому на основании формул (2.1.7) и (2.1.8) из неравенства (2.1.9) вытекает неравенство

Таким образом, можно ограничиваться проверкой устойчивости решения, а также его асимптотической устойчивости, лишь для некоторого заданного начального момента

Отсюда также получаем, что если решение неустойчиво при оно является неустойчивым для любого другого момента

В дальнейшем для теорем устойчивости мы, как правило, начальный момент будем считать фиксированным (см. [14], [15], [16]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление