Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Общие свойства решений линейной дифференциальной системы

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

где т. е. коэффициенты системы и свободные члены ее непрерывны в интервале причем а — число или символ — Если не оговорено противное, то функции предполагаются действительными. Что касается решений то, вообще говоря, мы будем считать их комплекснозначными.

Можно также предполагать функции кусочно непрерывными на . В этом случае под решением понимаются непрерывные на функции, удовлетворяющие уравнениям (2.2.1) в интегральной форме

( постоянные).

Введя векторно-матричные обозначения

систему (2.2.1) можно записать более просто:

где

Для линейной системы (2.2.2) справедлива следующая теорема существования и единственности решений (см. для любой системы чисел существует решение системы (2.2.2), определенное для всех и удовлетворяющее начальному условию:

причем решение с такими свойствами единственно в Пусть

— фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в виде -матрицы)

соответствующей однородной дифференциальной системы

т. е. матрица, состоящая из линейно независимых ее решений:

В записи первый индекс обозначает номер координаты, а второй номер решения, так что в фундаментальной матрице (2.2.4) решения располагаются по столбцам.

Покажем, что матрица удовлетворяет матричному уравнению

Действительно, так как функция удовлетворяет уравнению системы (2.2.5), то имеем

Следовательно, вспоминая правило перемножения матриц, получаем

что и требовалось доказать.

Заметим, что при нашем доказательстве не понадобилась неособенность матрицы Поэтому любая матрица столбцы которой представляют собой решения линейной однородной системы (2.2.5), удовлетворяет матричному уравнению (2.2.6).

Обратно, если -матрица удовлетворяет матричному уравнению (2.2.6), то столбцы ее

представляют решения линейной однородной системы (2.2.5). Если при этом то матрица является фундаментальной.

Действительно, очевидно, имеем

где Умножая справа на уравнение (2.2.6), получим

Если фундаментальная матрица системы (2.2.5), то, как известно (см. [9] -[12]), каждое решение этой системы может быть записано в виде

где некоторая постоянная матрица-столбец.

Пусть решение удовлетворяет начальному условию Полагая в тождестве будем иметь

отсюда Следовательно,

Вводя матрицу Коши

получим

В частности, если фундаментальная матрица нормирована при т. е. где единичная матрица, то формула (2.2.9) принимает вид

Заметим, что матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы Действительно, если есть другая фундаментальная матрица системы (2.2.1), то имеем где С — постоянная неособенная матрица. Отсюда следовательно,

Любое решение неоднородной системы может быть записано в виде

где некоторое фиксированное решение ее и с — постоянный -вектор. Если таково, что то, очевидно,

и, следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление