Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Арифметические действия над матрицами

Определение 1. Под матрицей типа (или, короче, -матрицей) понимается система действительных или комплексных чисел (или функций), записанная в виде прямоугольной таблицы:

Числа (функции) называются элементами матрицы А, причем первый индекс есть номер строки, а второй номер столбца (см. [1]). Матрицы

и

типа называются, соответственно, вектором-столбцом и вектором-строкой.

Матрицу типа 1X1 принято отождествлять с числом (скаляром)

Если А — квадратная матрица, то под будем понимать ее определитель.

Определение 2. Матрица (1.1.1) называется нулевой и обозначается

если для всех допустимых

Две матрицы типа типа считаются равными:

если 1) они имеют одинаковые типы, каждый элемент матрицы равен соответствующему элементу матрицы В.

Определение 3. Сумма и, соответственно, разность двух матриц одинаковых типов определяется формулой

Очевидно, имеет место переместительное свойство

Если матрицы одинаковых типов, то по определению полагаем

причем

По индукции можно определить сумму любого конечного числа матриц одинаковых типов.

Определение 4. Под произведением матрицы на число а понимается матрица

Если матрицы, а числа, вообще говоря, комплексные, то очевидны свойства:

Матрица

называется противоположной для матрицы Очевидно» имеем и

Заметим, что если квадратная матрица порядка то

Определение 5. Под произведением матриц типа типа понимается матрица

Аналогично, если то

есть матрица типа Пример.

В общем случае даже для квадратных матриц

АВФВА.

Пример.

Если матрицы и — число, то справедливы следующие свойства:

2) А

Из определения 5 следует, что квадратные матрицы допускают перемножение друг на друга в любом порядке тогда и только тогда, когда они одинакового порядка. В этом случае

Единичная -матрица

где символ Кронекера, т. е.

играет роль единицы при умножении:

где А — любая квадратная матрица, одинакового с порядка. Определение 6. Матрицу

где

и

будем называть единичным косым рядом (верхним) порядка (см. [1]). Очевидно,

Лемма. Если единичные косые ряды одного и того же порядка то

и

Доказательство. Пусть

Имеем

Из определения 6 следует, что равно или 1, причем тогда и только тогда, когда для некоторого имеем

Отсюда при получаем

Следовательно,

Если же то равенства (1.1.2) не могут быть выполнены одновременно. Поэтому

Замечание. Если условно полагать при то всегда

Следствие. Если натуральное число, то

Определение 7. Если есть матрица типа то матрица

типа называется транспонированной по отношению к матрице А.

Матрица А называется симметрической, если

и кососимметрической, если

Для матриц допускающих указанные действия, справедливы соотношения:

Если А — квадратная матрица, то

Определение 8. Если то матрица

(где сопряженные величины для ) называется комплексно-сопряженной для матрицы А.

Если - квадратная матрица, то, очевидно,

Матрица

называется эрмитово-сопряженной или просто сопряженной для матрицы А.

Очевидно, выполнены соотношения:

Если

то матрица А называется эрмитовой или самосопряженной.

Действительная матрица А является самосопряженной тогда и только тогда, когда она симметрическая:

Определение 9. Матрица называется обратной данной матрице А, если

где единичная матрица соответствующего порядка.

Из условия (1.1.4) следует, что если матрица А имеет обратную то матрицы квадратные и одного и того же порядка.

Обратная матрица для данной матрицы А единственна. Действительно, если, кроме Асуществует обратная матрица В, т. е. то

Отсюда, умножая последнее равенство справа на Аполучим

т. е.

Определение 10. Матрица А называется неособенной (несингулярной), если она квадратная и

В противном случае матрица А называется особенной (сингулярной).

Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную.

Доказательство. Пусть неособенная матрица и

— союзная матрица, представляющая собой транспонированную матрицу элементами которой служат алгебраические дополнения элементов

Рассмотрим матрицу

Согласно известному свойству (см. [2]) имеем

и

Следовательно, на основании формулы (1.1.4) получаем

Таким образом,

Замечание. Из формулы (1.1.4) вытекает

3) если неособенные матрицы одинакового порядка, то

Определение 11. Действительная квадратная матрица удовлетворяющая условию:

называется ортогональной.

Из соотношения (1.1.5) получаем

Пример. Если о действительно, то матрица

как нетрудно проверить, является ортогональной.

Заметим, что матрица, обратная ортогональной матрице есть матрица ортогональная. Действительно,

Таким образом,

Определение 12. Квадратная матрица обладающая свойством

называется унитарной. Очевидно, имеем

На основании (1.1.6) выводим

Заметим, что если унитарна, то также унитарна и, следовательно,

Определение 13. Под следом квадратной матрицы понимается сумма всех ее диагональных элементов:

Очевидно, имеем

и

Если квадратные матрицы одного и того же порядкаг то справедливы следующие соотношения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление