Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Матрицант

Рассмотрим линейную однородную дифференциальную систему

где Пусть решение системы (2.4.1), определяемое начальным условием

где некоторый вектор-столбец. Для аналитического представления решения применим метод последовательных приближений в специальной форме. Из уравнения (2.4.1) с учетом (2.4.2) получаем интегральное уравнение

Заменяя в последнем интеграле суммой

будем иметь

Повторяя этот процесс неограниченное число раз, получим формальное представление решения

или

где

Матрица называется матрицантом дифференциальной системы (2.4.1). Покажем, что ряд (2.4.4) сходится абсолютно для всякого причем сходимость равномерна на каждом конечном отрезке

Действительно, оценивая члены ряда (2.4.4) по первой норме (см. формулу (1.11.2)), получим ряд

Пусть (рис. 6),

При [3] последовательно имеем

Так как то, следовательно, ряд (2.4.5) мажорируется сходящимся знакоположительным рядом

Отсюда на основании известного признака Вейерштрасса получаем, что знакоположительный функциональный ряд (2.4.5) сходится равномерно на любом отрезке

Рис. 6.

Следовательно, матричный ряд (2.4.4) также сходится абсолютно и равномерно на [3].

Дифференцируя почленно ряд (2.4.4), получаем равномерно сходящийся на ряд

кроме того,

Следовательно, матрицант представляет собой нормированную фундаментальную матрицу однородной дифференциальной системы (2.4.1), причем любое решение этой системы выражается по формуле (2.4.3).

В силу свойства единственности решений линейной дифференциальной системы имеет место тождество

где матрица Коши.

Формулы (2.4.3) и (2.4.4) впервые были получены итальянским математиком Пеано. На основании теоремы единственности получаем основное свойство матрицанта

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление