Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Для неоднородной дифференциальной системы

будем искать решение в виде

где фундаментальная матрица соответствующей однородной системы

и новая неизвестная вектор-функция. Подставляя выражение (2.5.2) в уравнение (2.5.1), получим

или так как

то отсюда будем иметь

Следовательно,

Поэтому на основании формулы (2.5.2) находим (см. [6], [12])

где

— матрица Коши. Для определения произвольного постоянного вектора с в формуле (2.5.4) положим Тогда будем иметь

и, следовательно,

В частности, если фундаментальная матрица нормирована при т. е. то из формулы (2.5.5) получим

Из формулы (2.5.5) вытекает, что неоднородная система (2.5.1) имеет частное решение

удовлетворяющее условию

Заметим, что если матрица постоянна и то

представляют собой фундаментальные матрицы однородной системы (2.5.3), совпадающие при Поэтому

Следовательно, полагая получаем, что дифференциальная система

где имеет общее решение

В частности, при получим, что неоднородная система (2.5.6) обладает частным решением

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление