Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем

Рассмотрим однородную систему

где

Покажем, что устойчивость системы (2.7.1) эквивалентна ограниченности всех ее решений.

Теорема 1. Линейная однородная дифференциальная система (2.7.1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое решение этой системы ограничено на полуоси

Доказательство. 1) Докажем сначала, что ограниченность решений линейной однородной системы достаточна для ее устойчивости.

Пусть любое решение системы (2.7.1) ограничено на Рассмотрим нормированную фундаментальную матрицу

где Так как матрица состоит из ограниченных функций то она ограничена, т. е.

где некоторая положительная постоянная, зависящая, вообще говоря, от

Как известно (2.2.10), каждое решение системы (2.7.1) может быть представлено в виде произведения

Отсюда получаем

если только

Следовательно, тривиальное решение а значит, в силу теоремы 1 из § 6 и любое решение системы (2.7.1) устойчиво по Ляпунову при

Таким образом, система (2.7.1) устойчива. 2) Докажем теперь, что ограниченность решений линейной однородной системы нербходима для ее устойчивости.

Пусть система (2.7.1) допускает неограниченное на решение очевидно, Фиксируя два положительных числа и -рассмотрим решение

Очевидно,

причем в силу неограниченности для некоторого момента имеем

Таким образом, тривиальное решение системы (2.7.1) неустойчиво по Ляпунову при а следовательно, на основании теоремы 1 из § 6, система (2.7.1) также вполне неустойчива.

Заметим, что здесь неустойчивость системы обнаруживается в усиленной форме, так как положительное число произвольно.

Следствие. Если неоднородная линейная дифференциальная система устойчива, то все ее решения или ограничены, или не ограничены при

Пример. Скалярное уравнение

допускает неограниченное решение Так как

то решение очевидно, устойчиво и даже асимптотически.

Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы из ограниченности ее решений, вообще говоря, не следует устойчивость их.

Пример. Рассмотрим скалярное уравнение

Интегрируя, будем иметь (рис. 9)

и

Все решения (2.7.2) и (2.7.3), очевидно, ограничены на

Рис. 9.

Однако решение неустойчиво при так как при любом имеем

Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система (2.7.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения стремятся к нулю при т. е.

Доказательство. 1) Пусть система (2.7.1) асимптотически устойчива при Тогда все ее решения, в том числе тривиальное асимптотически устойчивы при Следовательно (см. § 1, определение 4), для любого решения системы (2.7.1) имеем

если только произвольно.

Рассмотрим произвольное решение де определяемое начальным условием Положим

где

Так как решение очевидно, удовлетворяет условию

то для него справедливо соотношение (2.7.5). Следовательно,

Таким образом, необходимость условия теоремы доказана.

2) Пусть условие (2.7.4) выполнено. Тогда для каждого решения будем иметь

Так как на конечном отрезке непрерывная вектор-функция ограничена, то любое решение ограничено на полупрямой следовательно, на основании теоремы 1 система (2.7.1) устойчива, причем ее тривиальное решение асимптотически устойчиво. Отсюда в силу теоремы 3 из § 6 вытекает асимптотическая устойчивость системы (2.7.1).

Следствие. Асимптотически устойчивая линейная дифференциальная система асимптотически устойчива в целом (§ 1, определение 5).

Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы стремление к нулю всех решений, вообще говоря, не является достаточным условием для асимптотической устойчивости тривиального решения ее.

Пример. Рассмотрим систему

допускающую тривиальное решение Интегрируя, получим

или, полагая будем иметь

Очевидно,

Однако для любого при будем иметь

Рис. 10.

Следовательно, решение не является устойчивым, а тем более асимптотически устойчивым при (рис. 10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление