Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей

Рассмотрим систему

где постоянная -матрица. Положим

тогда, учитывая свойства экспоненциала матрицы (гл. I, § 14), будем иметь

или

Так как то матрица неособенная. Поэтому из (2.8.2) получаем

и, следовательно,

где с — постоянная -матрица.

Таким образом, общее решение системы (2.8.1) с постоянной матрицей А есть

Пусть Из формулы (2.8.3) имеем

т. е.

и, значит,

Пусть собственные значения матрицы А, отвечающие различным клеткам Жордана, и соответствующие им порядки клеток Жордана. Обозначим через неособенную матрицу, приводящую матрицу А к жордановой форме:

где соответствующие клетки Жордана. Тогда на. основании свойств экспоненциала (гл. I, § 13) из формулы (2.8.4) получаем

где

где соответствующие единичные косые ряды.

Теорема 1. Линейная однородная система (2.8.1) с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни матрицы А обладают неположительными вещественными частями

причем характеристические корни, имеющие нулевые вещественные части, допускают лишь простые элементарные делители (т. е. соответствующие клетки Жордана сводятся к одному элементу).

Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теоремы.

Пусть все характеристические корни матрицы А с отрицательными вещественными частями отвечающие различным клеткам Жордана, и

— все характеристические корни матрицы А с нулевыми вещественными частями, причем общее число клеток Жордана в нормальной форме матрицы А. Тогда в силу формулы (2.8.5) любое решение системы (2.8.1) имеет вид

где некоторые полиномиальные вектор-функции, степень которых ниже кратности корня постоянные вектор-столбцы. Так как , то

Кроме того,

Поэтому из формулы (2.8.6) вытекает, что каждое решение ограничено на полурси

Следовательно, на основании теоремы 1 из § 7 система (2.8.1) устойчива.

2) Докажем теперь необходимость условий теоремы (см. [17]).

Пусть система (2.8.1) устойчива. Покажем сначала, что все характеристические корни матрицы А имеют неположительные вещественные части. Действительно, предположим, что найдется собственное значение матрицы А такое, что

Тогда, как известно, система (2.8.1) имеет нетривиальное решение вида

где . Отсюда

и, таким образом, решение неограниченно, что противоречит устойчивости системы. Поэтому

Покажем теперь, что каждый характеристический корень с нулевой вещественной частью имеет простые элементарные делители.

В самом деле, предположим, что матрица А приведена к жордановой форме

где причем некоторому характеристическому корню соответствует клетка Жордана

типа где Тогда

будет являться матричным решением системы (2.8.1), так как

Из формулы (2.8.8) получаем

Отсюда, оценивая по норме, будем иметь

Так как

то, воспользовавшись, например, первой нормой при 0, получаем

где Из неравенства (2.8.9) выводим

при

Таким образом, при что невозможно для устойчивой системы. Теорема доказана.

Замечание. Устойчивая линейная однородная система с постоянной матрицей А равномерно устойчива относительно начального момента

Действительно, так как решения устойчивой линейной системы ограничены, то имеем

Пусть произвольное решение нашей системы. Тогда

и, следовательно, при получаем

если

причем число не зависит от начального момента Таким образом, тривиальное решение равномерно устойчиво при а значит, и все решения этой системы также равномерно устойчивы при (§ 6, теорема 2).

Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система (2.8.1) с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни матрицы А имеют отрицательные вещественные части, т. е.

Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условия теоремы. Пусть все характеристические корни матрицы А, отвечающие различным клеткам Жордана, причем

Из формулы (2.8.5) вытекает, что каждое решение системы (2.8.1) имеет вид

где полиномиальные матрицы. Отсюда на основании условия (2.8.10) получаем

и, следовательно, в силу теоремы 2 из § 7 система (2.8.1) асимптотически устойчива.

2) Докажем теперь необходимость условия (2.8.10). Пусть система (2.8.1) асимптотически устойчива. Тогда эта система устойчива по Ляпунову при и, следовательно, на основании теоремы 1 имеем

Допустим, что найдется хотя бы один характеристический корень такой, что

Тогда система (2.8.1) имеет решение вида

где с — ненулевой вектор-столбец. Поэтому

и, значит, при что противоречит асимптотической устойчивости системы (2.8.1). Следовательно,

Теорема доказана полностью.

Замечание. Таким образом, чтобы доказать асимптотическую устойчивость линейной однородной системы (2.8.1), достаточно убедиться, что все корни ее векового уравнений

обладают отрицательными вещественными частями. В следующем параграфе мы дадим необходимые и достаточные условия, при которых алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корни лишь с отрицательными вещественными частями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление