Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Критерий Гурвица

Рассмотрим полином

где комплексное число и действительные или комплексные коэффициенты.

Определение. Полином степени называется полиномом Гурвица, если все его корни обладают отрицательными вещественными частями

т. е. все корни расположены в левой комплексной полуплоскости.

В дальнейшем мы будем предполагать, что коэффициенты полинома действительны, причем

Такой, очевидно, не имеющий нулевых корней полином для краткости будем называть стандартным полиномом степени Установим простое необходимое условие для полинома Гурвица. Теорема. Если стандартный полином является полиномом Гурвица, то все его коэффициенты положительны. Доказательство. Пусть

— комплексные корни полинома Гурвица и

— действительные корни этого полинома. В силу определения полинома Гурвица имеем

Обозначим через кратность корня тогда, так как коэффициенты полинома (2.9.1) действительны, то сопряженный корень имеет ту же кратность Пусть кратность действительного корня есть Очевидно,

Пользуясь известным разложением полинома на линейные множители, имеем следующее тождество:

или

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в правой и левой частях тождества (2.9.5), получаем, что все

коэффициенты полинома имеют одинаковые знаки. А так как в силу условия то

Теорема доказана.

Замечание. Легко показать, что для стандартного полинома второй степени

условие теоремы является достаточным, т. е. если

то полином (2.9.7) будет полиномом Гурвица.

Для стандартного полинома степени выше второй из положительности его коэффициентов в общем случае не вытекает, что этот полином есть полином Гурвица.

Пример. Полином

имеет лишь положительные коэффициенты, но не является полиномом Гурвица, так как его корни есть

Обозначим для краткости через совокупность всех стандартных полиномов Гурвица степени и пусть

— множество всех стандартных полиномов Гурвица.

Для вывода необходимых и достаточных условий для отношения введем понятие присоединенных полиномов (ср. [15]).

Определение. Полином

где

будем называть присоединенным к полиному

Лемма 1. Полином, присоединенный к стандартному полиному Гурвица, есть стандартный полином Гурвица, т. е. если

Доказательство. Рассмотрим полином

где действительный параметр пробегает отрезок причем

Покажем, что корни полинома при расположены в левой полуплоскости полином есть полином Гурвица. Действительно, прежде всего, полагая

где

будем иметь

где линейные функции параметра Отсюда, учитывая, что получаем

где достаточно велико и не зависит от

Следовательно, корни заключены внутри достаточно большого конечного круга (рис. 11) и, значит, являются ограниченными непрерывными функциями параметра При полином имеет корни, лежащие в левой полуплоскости, т. е.

Рис. 11.

Пусть теперь при некотором полином не является полиномом Гурвица. Тогда по меньшей мере одна из кривых покинет левую полуплоскость и, следовательно, при некотором значении и пересечет отрезок мнимой оси (рис. 11). Иными словами, при полином имеет мнимый корень т. е.

Отсюда

Так как значения полинома с действительными коэффициентами в сопряженных точках комплексно сопряжены, т. е.

то, учитывая, что коэффициенты полинома действительны и что полином есть полином Гурвица, будем иметь

Сокращая равенство (2.9.9) на равные, отличные от нуля величины получим

т. е.

Так как

то и поэтому равенство (2.9.10) невозможно при . Итак,

Лемма 2. Для всякого стандартного, полинома Гурвица степени существует стандартный полином Гурвица степени по отношению к которому данный полином является присоединенным, т. е. если то существуют такие, что

Доказательство. Из функционального уравнения (2.9.11) имеем

Исключая из уравнений (2.9.11) и (2.9.12), получил

Пусть

и

где Если выбрать

то функция определяемая формулой (2.9.13), очевидно, полиномом степени. Легко проверить, что

Докажем, что Рассмотрим полином

где постоянная а определяется по формуле (2.9.14) и параметр пробегает отрезок [0,1]. Корни этого полинома являются ограниченными непрерывными функциями параметра на отрезке [0,1]. При один из корней находится в правой полуплоскости а все остальные корни — в левой Такое расположение корней сохраняется при . Действительно, если бы один из корней перешел из одной полуплоскости в другую, то кривая должна была бы пересечь мнимую ось и при некотором полином имел бы мнимый корень т. е.

следовательно,

причем так как

Отсюда, учитывая, что полином Гурвица, и рассуждая аналогично тому, как в лемме 1, будем иметь

Поэтому из неравенства (2.9.16) выводим

т. е.

что невозможно при и действительном

Из формулы (2.9.15) вытекает, что при полином имеет двукратный нулевой корень. Пусть корни при На основании известных соотношений между корнями и коэффициентами полинома при получаем

или, переходя к действительным частям, находим

Отсюда следует, что один из корней при должен иметь положительную вещественную часть, так

как в противном случае, при левая часть равенства (2.9.17) стремилась бы к а правая оставалась ограниченной и положительной, что, очевидно, невозможно. А так как есть единственный корень с положительной вещественной частью при то, полагая

получаем Без нарушения общности рассуждения можно принять следовательно,

Тогда, учитывая, что

при будем иметь

Так как на основании формул (2.9.13) и (2.9.15) при имеем

то являются корнями многочлена следовательно,

Замечание. Если

есть стандартный полином степени причем и то на основании формул (2.9.13) и (2.9.14) получаем, что существует стандартный полином степени такой, что

Из лемм 1 и 2 следует, что множество всех стандартных полиномов Гурвица можно построить, исходя из совокупности стандартных полиномов первой степени и последовательного применения операции присоединения 5. А именно

и

Рассмотрим стандартный полином

где .

Составим -матрицу Гурвица

где принято при

Теорема Гурвица. Для того чтобы стандартный полином (2.9.19) являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры

его матрицы Гурвица (условие Гурвица).

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий Гурвица (2.9.21), т. е. покажем, что если то условия Гурвица (2.9.21) выполнены. Для доказательства применим метод математической индукции (см. также [15]).

При имеем

причем если Ни то Так как коиень то условие Гурвица

выполнено.

Пусть теперь для всех полиномов теорема справедлива и На основании леммы 2 полином можно рассматривать как присоединенный для некоторого стандартного полинома т. е.

где

Положим

где

тогда

где

Составляя главный диагональный минор порядка матрицы Гурвица полинома будем иметь

и

Отсюда, вынося за знак определителя общие множители с элементов нечетных столбцов (первого, третьего и т. д.), а затем вычитая из элементов четных столбцов (второго, четвертого и т. д.) соответствующие оставшиеся элементы нечетных и вынося за знак определителя общие множители с преобразованных элементов четных столбцов, находим

где — главные диагональные миноры матрицы Гурвица полинома

Так как для полинома согласно индукционному предположению выполнены условия Гурвица, то

Поэтому, учитывая, что имеем

что и требовалось доказать.

2) Докажем теперь достаточность условий Гурвица, т.е. покажем, что если для стандартного полинома выполнены условия Гурвица, то

Для теорема, очевидно, справедлива, так как если

где корень полинома

Пусть теперь теорема верна для всех полиномов

— некоторый стандартный полином степени для которого выполнены условия Гурвица:

В силу замечания к лемме 2 этот полином можно рассматривать как присоединенный К некоторому стандартному полиному

степени . Так же как при доказательстве первой части теоремы, получаем, что главные диагональные миноры матрицы Гурвица удовлетворяют соотношениям

где Отсюда

т. е. для полинома выполнены условия Гурвица. А так как по предположению теорема верна для всех стандартных полиномов степени то Таким образом, полином является присоединенным к стандартному полиному Гурвица следовательно, на основании леммы 1 имеем

Теорема доказана полностью. Замечание 1. Если

есть стандартный полином Гурвица, то имеем

где

— также стандартный полином Гурвица, и обратно.

Действительно, если корни полинома (2.9.23) и то корни полинома (2.9.24)

(рис. 12). Поэтому условия Гурвица для полинома можно записывать также в виде

Рис. 12.

Замечание 2. Пусть

— линейная однородная система с постоянной действительной матрицей и

— характеристическое уравнение матрицы А. В раскрытом виде уравнение (2.9.27) имеет вид

где

Для асимптотической устойчивости системы (2.9.26) необходимо выполнение следующих условий:

В частности, должно быть

Если система (2.9.26) — второго порядка то условия (2.9.28) также достаточны для ее асимптотической устойчивости.

В общем случае для асимптотической устойчивости системы (2.9.26) необходимо и достаточно выполнение условий Гурвица:

Пример 1. Для полинома

где действительны, условия Гурвица суть

т. е.

Таким образом, в пространстве коэффициентов область полиномов Гурвица ограничена положительной частью координатной плоскости и гиперболическим параболоидом (рис. 13).

Рис. 13.

Рис. 14.

Пример 2. Определить область асимптотической устойчивости для системы

Характеристическое уравнение для системы (2.9.29) имеет вид

или

Отсюда асимптотическая устойчивость будет иметь место, если

т. е. (рис. 14)

Замечание. Чтобы стандартный полином

имел нули, лежащие лишь в замкнутой левой полуплоскости необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица были бы неотрицательны:

Пусть постоянная действительная матрица и область асимптотической устойчивости системы

в пространстве коэффициентов Область простой устойчивости системы (2.9.30) содержится в замкнутой области причем представляет собой часть границы состоящую из точек для которых характеристические корни с нулевой вещественной частью матрицы А имеют лишь простые элементарные делители («безопасная граница»). Дополнительная часть границы не входит в область («опасная граница»),

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление