Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Критерий Михайлова

Если степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказываются более удобными геометрические признаки, эквивалентные критерию Гурвица. Мы здесь изложим один из них, так называемый частотный критерий А. В. Михайлова.

Пусть

— стандартный полином степени т. е. коэффициенты действительны, Кривая

где действительный положительный параметр называется годографом Михайлова функции

Докажем одну лемму, из которой непосредственно следует принцип Михайлова.

Лемма. Пусть стандартный полином степени не имеющий чисто мнимых корней. Тогда угол поворота против хода часовой стрелки ненулевого вектора при равен

где число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Обратно, если справедлива формула (2.10.2), то на положительной полуплоскости расположено точно корней полинома где каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Доказательство. Доказательство леммы проведем, следуя в основном А. А. Фельдбауму (см. А. А. Фельдбаум, Электрические системы автоматического регулирования, Оборонгиз, 1954, гл. VII).

1) Пусть стандартный полином степени имеет всего комплексно-сопряженных корней действительных корней где каждый корень считается столько раз, какова его кратность, т. е.

В частном случае, возможно или

Разлагая полином на линейные множители и учитывая, что ввиду действительности его коэффициентов комплексно-сопряженные множители могут быть попарно объединены, получим

Отсюда

Интересующий нас угол поворота вектора очевидно, равен

где обозначает приращение соответствующей функции ьдоль годографа Михайлова когда параметр изменяется от до Так как при все множители произведения (2.10.3) ненулевые, то в силу известных теорем об аргументе произведения имеем

где под понимается некоторая непрерывная ветвь многозначной функции главное значение аргумента: Для определенности будем считать, что при аргументы всех слагаемых формулы (2.10.4) равны их главным значениям. Очевидно,

Пусть

Тогда

Поэтому

Так как то при увеличении параметра как ясно из геометрических соображений, оставаясь в пределах от до будет монотонно возрастать, если , и монотонно убывать, если при этом

при

Рассмотрим, теперь поведение при Если то получаем

Если же то в силу свойства непрерывности следует положить

Отсюда

Таким образом, из формул (2.10.7) и (2.10.8) находим

Следовательно,

Пусть теверь ненулевой действительный корень полинома Имеем

и

Поэтому

Из формул (2.10.9) и (2.10.10) вытекает, что каждый корень с отрицательной вещественной частью стандартного полинома обеспечивает при поворот вектора среднем» на а каждый корень этого полинома с положительной вещественной частью создает при поворот вектора «в среднем» на .

Пусть число корней нашего стандартного полинома с положительной вещественной частью. Тогда число корней этого полинома с отрицательной вещественной частью ввиду отсутствия чисто мнимых корней равно Поэтому для суммарного поворота вектора при получаем следующее выражение:

что и требовалось доказать.

2) Пусть теперь для стандартного полинома степени без чисто мнимых корней угол поворота при вектора определяется формулой (2.10.2) и число его корней с положительной вещественной частью. Тогда согласно доказанному имеем

Сравнивая формулы (2.10.11) и (2.10.2), получаем

т. е. в этом случае полином имеет в точности корней на положительной полуплоскости Лемма доказана полностью.

Критерий Михайлова. Для того чтобы стандартный полином не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота против хода часовой стрелки вектора при был бы равен

где степень полинома

Действительно, полагая в формуле (2.10.2), получим соотношение (2.10.12).

Следствие. Если для стандартного полинома степени имеет место неравенство

то не является полиномом Гурвица.

Замечание. Если стандартный полином есть полином Гурвица степени то, как следует из формулы (2.10.4), вектор при монотонно поворачивается против хода часовой стрелки на угол Так как то годограф Михайлова полинома выходя из точки положительной полуоси при будет последовательно пересекать полуоси проходя через квадрантов.

Обратно, если годограф Г. Михайлова стандартного полинома степени без чисто мнимых корней, выходя из точки положительной полуоси при последовательно по одному разу пересекает полуосей асимптотически стремясь к по счету полуоси, то угол поворота вектора очевидно, равен и, следовательно, полином есть полином Гурвица. На практике это обстоятельство можно проверить, построив годографа полинома

Пример. Пользуясь, критерием Михайлова, получить условия Гурвица для полинома

( действительны). Имеем

Отсюда точки пересечения годографа полинома с полуосями последовательно суть где

Так как и должны быть действительны, то

Далее, имеем

Отсюда, учитывая направления векторов для случая полинома Гурвица, находим

Сверх того, полагая при очевидно, получаем

Объединяя неравенства (2.10.14) и (2.10.15), получим искомые условия Гурвица:

что согласуется с результатами, полученными ранее (см. § 9, пример 1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление