Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Леммы Гронуолла — Беллмана и Бихар

В дальнейшем будет выгодно использовать две леммы об интегральных неравенствах (см. [6], [18]).

Лемма Гронуолла — Беллмана. Пусть при причем при выполнено неравенство

где с — положительная постоянная. В таком случае при имеем

Доказательство. Из неравенства (2.11.1; получаем

и

Так как

то, интегрируя неравенство (2.11.3) в пределах от до будем иметь

Отсюда, используя неравенство (2.11.1), получаем

что и требовалось доказать.

Замечание. Переходя в формулах (2.11.1) и (2.11.2) к пределу при убеждаемся, что лемма остается верной, если постоянная

Обобщение леммы Гронуолла — Беллмана. Пусть непрерывная положительная функция и для любых значений удовлетворяет интегральному неравенству

где при Тогда при справедлива двусторонняя оценка

Доказательство. Из неравенства (2.11.4) при имеем

Отсюда на основании леммы Гронуолла — Беллмана получаем

Аналогично из неравенства (2.11.4) при находим

Отсюда, используя метод доказательства леммы Гронуолла — Беллмана, будем иметь

и

Интегрируя последнее неравенство в пределах от до получим

т. е.

Заменяя теперь на из последнего неравенства при находим

и, следовательно,

Полагая в неравенствах (2.11.6) и (2.11.7), получим оценку (2.11.5).

Приведем еще одну лемму, обобщающую лемму Гронуолла — Беллмана.

Лемма Бихари (см. [18]). Пусть при причем и и имеет место неравенство

где с — положительная постоянная и положительная непрерывная неубывающая функция при и пусть

Тогда, если

то при справедливо неравенство

где функция, обратная

В частности, если то неравенство (2.11.11) выполнено без всяких ограничений.

Доказательство. В силу возрастания функции из неравенства (2.11.8) получаем

Отсюда

Интегрируя неравенство (2.11.12) по в пределах от до при будем иметь

Пусть

тогда

Следовательно, формула (2.11.13) принимает вид

Отсюда на основании формулы (2.11.9), учитывая, что и будем иметь

или, так как

Ввиду того, что

функция имеет однозначную непрерывную монотонно возрастающую обратную функцию определенную в области где Поэтому, если

выполнено неравенство (2.11.10), то из неравенства (2.11.14) получаем

Отсюда в силу неравенства (2.11.8) вытекает искомое неравенство (2.11.11).

Следствие 1. Если то имеем неравенство Гронуолла — Беллмана (2.11.2).

Следствие 2. Если т. е. выполнено неравенство

то

и

при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление