Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти постоянной матрицей

Теорема 1 (см. [6]). Пусть система

где А — постоянная -матрица, устойчива при Тогда система

где

также устойчива при

Доказательство. Без нарушения общности рассуждения можно считать, что

Пусть фундаментальная матрица системы (2.12.1) такая, что

Рассматривая как свободный член в уравнении (2.12.2) и применяя метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, получим, что каждое решение удовлетворяет интегральному уравнению

Отсюда

Так как система (2.12.1) устойчива, то матрица ограничена, т. е.

Таким образом,

Используя лемму Гронуолла — Беллмана, будем иметь

Следовательно (§ 7, теорема 1), система (2.12.2) устойчива при

Пример. Пусть

В силу теоремы 1 все решения уравнения (2.12.5) вместе с их производными ограничены на полуоси

Замечание. Если матрица переменная, то, как показал Перрон, теорема 1 в общем случае неверна.

Теорема 2 (см. [6]). Если матрица постоянна и система

асимптотически устойчива при то возмущенная линейная система

где при также асимптотически устойчива.

Доказательство. Из асимптотической устойчивости системы (2.12.6) в силу теоремы 2 из § 8 следует, что характеристические корни матрицы А обладают отрицательными вещественными частями. Положим

и выберем число столь малым, чтобы имело место неравенство

В уравнении (2.12.7) сделаем замену переменных

Тогда

следовательно,

Переходя к интегральному уравнению, будем иметь

Отсюда, так как на основании формулы (2.12.10) для решения получаем интегральное уравнение

Производя оценку по норме, при найдем

Как известно (см. гл. I, § 13),

где некоторая положительная постоянная. Поэтому

или

Отсюда, применяя лемму Гронуолла — Беллмана, будем иметь

следовательно,

На основании обобщенного правила Лопиталя (см. [19]) и условия теоремы получаем

Поэтому

при Отсюда неравенство (2.12.11) принимает вид

при и значит, в силу (2.12.7) для любого решения системы (2.11.7) справедливо равенство

Таким образом, система (2.12.7) асимптотически устойчива.

Замечание. Теорема 2 остается верной, если при где положительное число достаточно мало.

Следствие. Линейная система с полиномиальными коэффициентами

где постоянные -матрицы, асимптотически устойчива, если все корни векового уравнения

имеют отрицательные вещественные части: Действительно, полагая

будем иметь

где

Так как причем при то наше утверждение непосредственно вытекает из теоремы 2.

Замечание. Для линейной дифференциальной системы с переменной матрицей теорема 2, вообще говоря, неверна. Пример. Скалярное уравнение

имеющее общее решение

очевидно, асимптотически устойчиво при Тем не менее скалярное уравнение

коэффициент которого

отличается от коэффициента первого уравнения на функцию, бесконечно малую при неустойчиво при Действительно, его общее решение

не ограничено на интервале

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление