Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Случай Лаппо-Данилевского

Рассмотрим один случай линейной системы с переменной матрицей, для которого нетрудно провести исследование устойчивости. Положим

где .

Пусть матрица перестановочна со своим интегралом, т. е.

при (условие Лаппо-Данилевского). Тогда

представляет собой матрицант системы (2.13.1) (см. [20]). Действительно, учитывая, что

на основании условия (2.13.2) имеем (гл. I, § 14)

Кроме того,

Таким образом, общее решение системы (2.13.1) есть

Пример. Если -матрица имеет вид (см. [20])

то условие (2.13.2), очевидно, выполнено.

Теорема. Пусть для любой пары выполнено условие (2.13.2) и существует предел

Тогда, если все собственные значения предельной матрицы А расположены в левой полуплоскости, т. е.

то линейная система (2.13.1) асимптотически устойчива при

Доказательство. 1) Из условия (2.13.2) при имеем

Дифференцируя равенство (2.13.7) по переменной получим

т. е.

Отсюда находим

Переходя в последнем равенстве к пределу при будем иметь

таким образом, предельная матрица А перестановочна с интегралом

2) Положим

где

Докажем, что матрицы перестановочны. Действительно, учитывая соотношение (2.13.8), имеем

На основании формулы (2.13.4) выводим, что любое решение системы (2.13.1) имеет вид

Отсюда в силу перестановочности матриц получаем

Пусть

и таково, что

Выберем столь большим, чтобы выполнялось неравенство

Из формулы (2.13.10), учитывая оценку (1.13.6) и используя первую норму, находим

Следовательно,

и, значит, линейная система (2.13.1) асимптотически устойчива при

Упражнения к главе II

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление