Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА III. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

§ 1. Характеристические показатели функций

Пусть действительная функция, определенная в интервале Если для некоторой последовательности существует конечный или бесконечный предел определенного знака

то число или символ называется частичным пределом функции при

Определение 1. Наибольший из частичных пределов а функции при называется ее верхним пределом:

Рис. 15.

Более точно: а) если для любого отрицательного числа — справедливо неравенство

то полагают

б) если (рис. 15) для некоторого числа а при любом выполнено неравенство

причем существует последовательность такая, что

то считают

в) наконец, если функция не ограничена сверху на любом интервале то принимают

Аналогично определяется нижний предел функции при как наименьший из ее частичных пределов при

Можно также положить

Очевидно,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда существует конечный или бесконечный В этом случае

Легко убедиться, что 1) верхний предел функции обладает свойством монотонности, т. е. если

то

2) справедливо неравенство

причем это неравенство превращается в равенство, если существует конечный предел при хотя бы одной из функций или

в предположении, что правая часть неравенства имеет смысл, причем, если существует или последнее неравенство превращается в равенство.

Пример 1. Имеем

Здесь

Рассмотрим показательную функцию

где а действительно. Множитель а характеризует рост функции если , то, очевидно, при если же то при Число будем называть характеристическим показателем функции

В общем случае рассмотрим комплекснозначную функцию

действительного переменного определенную в интервале Модуль этой функции можно представить в показательном виде

где

играет роль множителя при Изучая рост функции естественно рассматривать максимальные значения функции

Определение 2. Число (или символ или определяемое формулой

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (короче, характеристическим показателем).

Это — функционал, определенный на множестве функций заданных на полуоси Для показательной функции очевидно, имеем

Характеристический показатель а равен взятому с обратным знаком характеристическому числу функции введенному Ляпуновым. Изложенные ниже теоремы о характеристических показателях функций аналогичны соответствующим теоремам Ляпунова (см. [15]).

Очевидно, имеем:

Пример 2. На основании формулы (3.1.1) получаем

Из формулы (3.1.1) вытекает, что характеристический показатель обладает свойством монотонности: если

то

Заметим, что для любой последовательности имеем

Лемма. Если

то 1) для любого справедлива формула

т. е.

т. е. существует последовательность такая, что

Обратно, если для некоторого а при любом выполнено соотношение (3.1.4), то

если же имеет место соотношение (3.1.5), то

наконец, если выполнены, оба соотношения (3.1.4) и (3.1.5), то

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость. Пусть

Отсюда

и

где Следовательно,

и

Из последних соотношений вытекают формулы (3.1.4) и (3.1.5).

2) Установим теперь достаточность. Если имеет место формула (3.1.4), то, очевидно, имеем

Рис. 16.

Отсюда ввиду произвольности числа получаем

если выполнено соотношение (3.1.5), то имеем

и, следовательно,

Если же имеют место оба соотношения (3.1.4) и (3.1.5), то, очевидно, получаем

Замечание. Таким образом, если при модуль функции растет медленнее, чем любая показательная функция где и по некоторой последовательности быстрее, чем (рис. 16).

Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа функций не превышает

наибольшего из характеристических показателей этих функций (в случае их конечности) и совпадает с ним, если наибольшим характеристическим показателем обладает лишь одно из слагаемых, т. е.

Доказательство. 1) Пусть

В силу леммы при любом имеем

Отсюда

Следовательно, на основании второй части леммы имеем

2) Пусть

и

Допустим, что последовательность такова, что

При имеем

Отсюда при получаем

Поэтому

В сочетании с неравенством (3.1.7) это дает

Замечание. Неравенство (3.1.6) формально остается верным, если все или некоторые или

Теорема 2. Характеристический показатель произведения конечного числа функций не превышает суммы характеристических показателей этих функций, т. е.

Доказательство. Очевидно, имеем

Следствие. Характеристический показатель конечной линейной комбинации функций с ограниченными коэффициентами не превышает наибольшего из характера стических показателей комбинируемых функций, т. е.

Действительно, учитывая, что

на основании теорем 1 и 2 имеем

Замечание. Если линейная комбинация функций

где постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то

Определение 3. Назовем характеристический показатель функции строгим, если существует конечный предел

В этом случае, очевидно, при

Если функция имеет строгий характеристический показатель, то из формулы (3.1.9) получаем

т. е.

Обратно, если выполнено равенство (3.1.10), то, учитывая, что

и

будем иметь

т. е. существует предел (3.1.9).

Теорема 3. Если функция имеет строгий характеристический показатель, то характеристический показатель произведения функций равен сумме характеристических показателей этих функций, т. е.

Доказательство. На основании теоремы 2 имеем

С другой стороны, учитывая формулу (3.1.10), получаем

т. е.

Из формул (3.1.12) и (3.1.13) вытекает формула (3.1.11). Следствие, .

Определение 4. Под интегралом функции следуя Ляпунову (см. [13]), будем понимать

и

Теорема 4. Характеристический показатель интеграла не превышает характеристического показателя подинтегральной функции.

Доказательство. Пусть

тогда для любого будем иметь

Отсюда

где некоторая положительная постоянная. 1) Если то из (3.1.14) имеем

Таким образом,

а так как произвольно, то

2) Если то из (3.1.15) при а получаем

Отсюда аналогично предыдущему выводим

3) Утверждения теоремы, очевидно, остаются в силе, если или

Следствие. Если

то

Действительно, используя свойство монотонности характеристических чисел и теорему 4, имеем

А так как произвольно то отсюда вытекает неравенство (3.1.16).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление