Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Характеристические показатели функциональных матриц

Определение. Назовём характеристическим показателем матрицы определенной на число или символ

Заметим, что если

- транспонированная матрица, то из формулы (3.2.1) вытекает

Лемма. Характеристический показатель конечномерной матрицы совпадает с характеристическим показателем ее нормы, т. е.

где под нормой матрицы понимается одна из трех рассмотренных выше норм (гл. I, § 4).

Доказательство. Так как

то

и, следовательно,

С другой стороны, очевидно, имеем

Поэтому на основании теоремы 1 из § 1 получаем

Таким образом,

Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа матриц не превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц.

Доказательство. Пусть — матрицы одного и того же типа и

Отсюда

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Замечание. Если среди матриц имеется лишь одна обладающая наибольшим характеристическим показателем, то характеристический показатель суммы этих матриц равен сумме их характеристических показателей.

Действительно, пусть

и

Допустим, что

На основании теоремы 1 из § 1, учитывая, что

при имеем

Следовательно,

Сопоставляя это неравенство с неравенством (3.2.2), получим окончательно

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Характеристический показатель произведения конечного числа матриц не превышает суммы характеристических показателей этих матриц.

Доказательство. Пусть матрицы, допускающие последовательное умножение, и

Отсюда

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Следствие. Характеристический показатель линейной комбинации

нескольких матриц не превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц и совпадает с ним, если наибольший характеристический показатель имеет лишь одна из матриц.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление