Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Спектр линейной однородной системы

Пусть

— линейная дифференциальная система, где

Теорема Ляпунова (о характеристических показателях решений линейной системы). Если матрица линейной системы (3.3.1) ограничена,

то каждое действительное или комплексное нетривиальное ее решение имеет конечный характеристический показатель.

Доказательство. Пусть

и . Из уравнения (3.3.1) получаем

Отсюда

Применяя обобщение леммы Гронуолла — Беллмана (гл. II, § 11), при будем иметь

Следовательно, учитывая, что

получим

т. е.

где

и

Таким образом, все характеристические числа нетривиальных решений линейной системы содержатся в конечном отрезке Теорема Ляпунова доказана.

Замечание. Если матрица линейной системы (3.3.1) действительна и некоторое комплексное решение ее

действительны; имеет характеристический показатель

то существует действительное решение этой системы, имеющее тот же характеристический показатель: В самом деле, так как

то

т. е. действительная и мнимая части комплексного решения являются решениями системы (3.3.1). Положим где

Так как

то, очевидно, имеем

что и требовалось доказать.

Без нарушения общности рассуждения можно предполагать, что

так как в случае необходимости можно использовать решение

Изучим более точно структуру множества характеристических показателей решений линейной дифференциальной системы с ограниченной матрицей

Лемма. Вектор-функции определенные на и обладающие различными характеристическими показателями, линейно независимы. Доказательство. Пусть

и для определенности

Предположим, что

причем где при Тогда из соотношения (3.3.5) имеем

и, следовательно, на основании следствия теоремы 2 из § 1 получаем

что противоречит условию (3.3.4).

Таким образом, линейно независимы. Определение. Множество всех собственных характеристических показателей (т. е. отличных от ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.

Из приведенного выше замечания следует, что если матрица линейной однородной системы действительна, то спектр ее может быть реализован на множестве действительных решений.

Теорема. Спектр линейной однородной дифференциальной системы с непрерывной ограниченной матрицей состоит из конечного числа элементов

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из леммы и того обстоятельства, что линейная дифференциальная система порядка имеет самое большее линейно независимых решений.

Заметим, что характеристические показатели нетривиальных решений линейной системы

с постоянной матрицей А являются вещественными частями характеристических корней матрицы А, т. е.

где корни векового уравнения

с различными вещественными частями (гл. II, § 8).

Замечание. Нелинейная дифференциальная система может иметь спектр произвольной природы, например, содержащий бесконечное множество элементов.

Пример. Скалярное дифференциальное уравнение

имеет общее решение

и, следовательно, это уравнение обладает сплошным спектром

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление