Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Нормальные фундаментальные системы

Пусть в -мерном пространстве задана линейная однородная система

где ее спектр, расположенный в порядке возрастания.

Как известно (см. [9], [10]), совокупность всех решений системы (3.4.1) представляет собой линейное пространство (пространство решений), точками которого являются отдельные решения, а любая фундаментальная система

состоящая из максимального числа линейно независимых решений служит базисом.

Пусть фундаментальная система содержит решений с характеристическим показателем причем некоторые могут быть и нулями. Величину

где будем называть суммой характеристических показателей системы Так как число характеристических показателей линейной системы конечно, то существуют фундаментальные системы с наименьшей суммой характеристических показателей, т. е.

Такие фундаментальные системы и соответствующие им фундаментальные матрицы будем называть нормальными (в смысле Ляпунова).

Определение 1. Фундаментальная система называется нормальной, если сумма ее характеристических показателей есть наименьшая по сравнению с другими фундаментальными системами.

Если матрица действительна, то для каждого характеристического показателя существуют действительные решения с таким показателем, и в этом случае нормальную фундаментальную систему можно также полагать действительной.

Пусть максимальное число линейно независимых решений системы (3.4.1), обладающих характеристическим показателем Рассмотрим совокупность всех решений включая тривиальное, характеристические показатели которых не превышают числа т. е.

В частности, имеем Из теорем о характеристических показателях следует, что если то (с — постоянная) и Поэтому

является линейным подпространством (см. приложение) пространства решений

Лемма 1. Число совпадает с размерностью линейного подпространства т. е.

Доказательство. В самом деле, по определению каждое решение с характеристическим показателем входит в т. е.

С другой стороны, пусть некоторый базис пространства где

Этот базис обязательно должен содержать решение с наибольшим характеристическим показателем так как в противном случае существовали бы решения системы (3.4.1), которые нельзя представить в виде линейной комбинации базисных решений. Пусть решение системы (3.4.1) такое, что Система решений образует новый базис подпространства Действительно, если

то

Отсюда в силу линейной независимости решений получим

и, значит, все . Таким образом, система решений

есть базис подпространства причем, очевидно, каждый элемент его обладает характеристическим показателем Следовательно,

Из неравенств (3.4.5) и (3.4.6) следует равенство (3.4.4). Следствие 1. Имеет место строгое неравенство

где

Следствие 2. Если число решений с характеристическим показателем входящих в произвольную фундаментальную систему то справедливы неравенства

Действительно, каждая часть фундаментальной системы включающая все линейно независимые решения с характеристическими показателями, не превосходящими очевидно, содержится в подпространстве

Замечание. Число элементов (в обобщенном понимании) линейного пространства размерности будем условно обозначать символом

В этом смысле можно сказать, что линейная система (3.4.1) имеет

решений с характеристическим показателем Таким образом, почти все решения линейной однородной дифференциальной системы обладают наибольшим характеристическим показателем

Рис. 17.

Пример. Пусть общее решение линейной дифференциальной системы имеет вид

где действительные произвольные постоянные и с — постоянные ненулевые векторы. Тогда каждое решение в пространстве будет характеризоваться вектором (рис. 17).

Спектр системы, очевидно, Решениям х таким, что

соответствует прямая с исключенным пулевым вектором (рис. 17). Решениям х с характеристическим показателем

отвечает плоскость

с исключенной прямой Наконец, решениям х с максимальным характеристическим числом

соответствует трехмерное пространство с исключенной плоскостью

Чтобы охарактеризовать нормальные фундаментальные системы решений, введем понятие несжимаемости системы функций.

Определение 2. Мы скажем, что система ненулевых вектор-функций обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их линейной комбинации

где постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, т. е. для всякой комбинации у имеем

Очевидно, если ненулевые вектор-функции обладают свойством несжимаемости и характеристические числа их отличны от то эти вектор-функции линейно независимы. Обратное неверно.

Заметим, что совокупность вектор-функций с различными характеристическими числами, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Лемма 2. Если фундаментальная система обладает свойством несжимаемости и число ее решений с характеристическим показателем максимальное число линейно независимых решений системы с характеристическим показателем то справедливы равенства

т. е. в этом случае суммы достигают своих наибольших значений.

Доказательство. Действительно, по свойству несжимаемости решение обладающее характеристическим показателем может быть линейной комбинацией лишь тех решений из фундаментальной системы характеристические показатели которых не превышают т. е.

С другой стороны, всегда

Сопоставляя неравенства (3.4.9) и (3.4.10), получаем равенства (3.4.8).

Теорема Ляпунова (о нормальности фундаментальной системы). Фундаментальная система линейной

системы (3.4.1) является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы, т. е. допустим, что система обладает свойством несжимаемости, и докажем, что она нормальная.

Предположим противное: пусть существует фундаментальная система такая, что

где

— характеристические показатели нетривиальных решений системы (3.4.1) и числа линейно независимых решений с характеристическим показателем содержащихся, соответственно, в фундаментальных системах и Для определенности в матрицах и решения расположим в порядке возрастания их характеристических показателей.

Пусть максимальное число линейно независимых решений системы с характеристическим показателем Вводя обозначение

в силу лемм 1 и 2 получаем

причем

Имеем

что противоречит неравенству (3.4.11).

Итак, несжимаемая система X нормальная. 2) Докажем теперь достаточность условия теоремы, т. е. предположим, что система X нормальная, и докажем, что она обладает свойством несжимаемости.

Предположим противное: пусть существует линейная комбинация

такая, что

Рассмотрим систему решений

Система является фундаментальной. В самом деле, пусть

где

Отсюда в силу линейной независимости решений имеем

Подставляя в тождество (3.4.15) выражение для будем иметь

Из последнего тождества, очевидно, получаем

что невозможно в силу условий (3.4.13) и (3.4.16). Следовательно, система фундаментальная.

На основании неравенства (3.4.14) находим

что противоречит нормальности системы

Таким образом, всякая нормальная система X обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1. Во всех нормальных фундаментальных системах количество решений с характеристическим показателем одно и то же.

Действительно, в силу леммы 2 получаем

где

Следствие 2. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы. Действительно, так как

то

Свойство несжимаемости Ляпунов положил в основу понятия нормальности фундаментальной системы (см. [13]).

Определение 3. Совокупность всех характеристических показателей нетривиальных решений линейной однородной системы (3.4.1), где каждый повторяется столько раз, сколько линейно независимых решений с характеристическим показателем содержится в некоторой ее нормальной фундаментальной системе будем называть полным спектром системы (3.4.1), а сумму

— суммой характеристических показателей линейной системы кратности элементов спектра).

Теорема Ляпунова (о построении нормальной фундаментальной системы решений). Пусть дана линейная дифференциальная система

где и пусть ее фундаментальная матрица. Тогда существует постоянная треугольная матрица.

такая, что

есть нормальная фундаментальная матрица системы (3.4.17).

Доказательство. 1) Пусть

Подберем числа так, чтобы

причем

Очевидно, справедлива формула (3.4.18). Кроме того, так как то

и, следовательно, есть фундаментальная матрица системы (3.4.17).

2) Докажем теперь, что так построенная матрица является нормальной фундаментальной матрицей системы (3.4.17).

Пусть полная совокупность различных характеристических показателей системы Рассмотрим произвольную группу решений из обладающих одним и тем же характепистическим показателем

Для любой их линейной комбинации

имеем

С другой стороны, полагая

на основании структуры формул (3.4.20) получаем

где и некоторые постоянные, не обязательно отличные от нуля. Отсюда, учитывая способ комплектования функций находим

Таким образом,

Рассмотрим теперь произвольную линейную комбинацию

решений из фундаментальной матрицы Выделяя из них максимальные совокупности решений обладающих одинаковыми характеристическими показателями и учитывая формулу (3.4.22); будем иметь

Следовательно, система X обладает свойством несжимаемости и в силу теоремы Ляпунова является нормальной.

Следствие. Если линейная система (3.4.17) имеет треугольную фундаментальную матрицу

то для этой системы существует нормальная треугольная матрица где при причем

Этот результат непосредственно вытекает из формулы (3.4.19).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление