Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы

Пусть

где спектр системы (3.5.1), причем

Теорема. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (3.5.1) достаточно, чтобы наибольший характеристический ее показатель был бы отрицательным, т. е.

Доказательство. Пусть - произвольное нетривиальное решение системы (3.5.1). Выберем столь малым» чтобы имело место неравенство

Так как

то имеем

т. е.

и, следовательно, при Отсюда следует (§ 7, теорема 2), что система (3.5.1) (т. е. все ее решения) асимптотически устойчива при

Замечание. Пусть нормальная фундаментальная система решений и

Положим

имеем (см. § 1, теорема 3, следствие)

т. е.

Таким образом, общее решение системы (3.5.1) может быть записано в виде

где произвольные постоянные, точки спектра, линейно независимые частные решения; при этом повторяется столько раз, сколько раз встречается частное решение с характеристическим показателем в нормальной фундаментальной системе решений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление