§ 6. Неравенство Важевского
Теорема (см. [22]). Для любого решения линейной дифференциальной системы
при
справедливо неравенство
где
евклидова норма вектора
и
наименьший и наибольший характеристические корни эрмитово-симметризованной матрицы:
причем
эрмитово-сопряженная матрица
Доказательство. Пусть
— нетривиальное решение системы (3.6.1) и
— эрмитово сопряженный вектор-строка. Очевидно,
В силу системы (3.6.1), учитывая, что
получаем
Так как матрица
эрмитова, то при любом
будем иметь (гл. I, § 5)
где
и
соответственно наименьший и наибольший корни векового уравнения
Поэтому на основании формулы (3.6.4) находим
Интегрируя неравенство (3.6.5) в пределах от
до
получим формулу (3.6.2).
Формула (3.6.2), очевидно, справедлива также и для тривиального решения
Следствие 1. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (3.6.1) достаточно выполнения условия
где
положительная постоянная.
Следствие 2. Спектр линейной системы (3.6.1) целиком расположен на отрезке
где
и
Для асимптотической устойчивости системы (3.6.1) достаточно, чтобы было