§ 6. Неравенство Важевского

Теорема (см. [22]). Для любого решения линейной дифференциальной системы

при справедливо неравенство

где евклидова норма вектора и наименьший и наибольший характеристические корни эрмитово-симметризованной матрицы:

причем эрмитово-сопряженная матрица

Доказательство. Пусть

— нетривиальное решение системы (3.6.1) и

— эрмитово сопряженный вектор-строка. Очевидно,

В силу системы (3.6.1), учитывая, что

получаем

Так как матрица эрмитова, то при любом будем иметь (гл. I, § 5)

где и соответственно наименьший и наибольший корни векового уравнения

Поэтому на основании формулы (3.6.4) находим

Интегрируя неравенство (3.6.5) в пределах от до получим формулу (3.6.2).

Формула (3.6.2), очевидно, справедлива также и для тривиального решения

Следствие 1. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (3.6.1) достаточно выполнения условия

где положительная постоянная.

Следствие 2. Спектр линейной системы (3.6.1) целиком расположен на отрезке где

и

Для асимптотической устойчивости системы (3.6.1) достаточно, чтобы было