Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Неравенство Ляпунова

Пусть линейная дифференциальная система

с ограниченной действительной матрицей имеет спектр

Обозначим через ее фундаментальную матрицу, где первый индекс как всегда, обозначает номер координаты, а второй номер решения, и пусть

— сумма характеристических показателей всех решений из где число показывает, сколько решений с характеристическим показателем содержится в системе

Рассмотрим определитель Вронского

Развертывая определитель согласно обычным правилам, будем иметь

гдесумма (3.7.2) распространена на все перестановки из элементов сигнатура перестановки, равная если перестановка четная, и —1, если перестановка нечетная. Используя теоремы о характеристических показателях суммы и произведения (§ 1) и учитывая равенство (3.7.2), получим

С другой стороны, на основании формулы Остроградского — Лиувилля (гл. II, § 3) имеем

поэтому

Отсюда на основании неравенства (3.7.4) получаем неравенство Ляпунова

Так как матрица ограничена, то, очевидно,

Следовательно,

Таким образом, линейной однородной дифференциальной системы с непрерывной ограниченной матрицей сумма

характеристических показателей решении из любой ее фундаментальной системы X не меньше верхнего предела от среднего значения следа матрицы системы. В частности, неравенству справедливо для нормальной фундаментальной системы где сумма имеет наименьшее значение.

Замечание Если матрица А (0 комплексная, то неравенсство Ляпунова (3.7.5), очевидно, имеет вид

Приведем достаточное условие нормальности фундаментальной системы решении.

Теорема. Если для фундаментальной системы линеинои однородной дифференциальной систмы с матрицей выполнено равенство Ляпунова

то эта система нормальная.

Доказательство. Действительно, если система х не является нормальной, то существует фундаментальная система для которой

что противоречит неравенству Ляпунова (3.7

Замечание. Существуют нормальные фундаментальные системы, для которых не выполнено равенство Ляпунова.

Пример. Пусть

Тогда получаем

где и - произвольные постоянные. Отсюда

Так как при имеем

то любая фундаментальная система является нормальной и

Однако для матрицы системы (3.7.9), очевидно, имеем

Отсюда

и, следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление