Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Приводимость к системе с нулевой матрицей

Пусть линейная система

(где ограниченная непрерывная действительная матрица) с помощью преобразования Ляпунова

преобразуется в систему

с нулевой матрицей. Так как общее решение системы (3.9.3) есть

то в этом случае семейство интегральных кривых линейной системы (3.9.1) в пространстве (рис. 18) может быть взаимно однозначно и непрерывно отображено на семейство

параллельных прямых в пространстве (рис. 19), т. е. при отображении (3.9.2) различным интегральным кривым соответствуют различные прямые и обратно.

Заметим, что если линейная система (3.9.1) преобразуется в систему с нулевой матрицей, то в силу формул (3.9.2) и (3.9.4) все ее решения ограничены.

Рис. 18.

Рис. 19.

Теорема. Если 1) все решения линейной однородной дифференциальной системы (3.9.1) ограничены в промежутке интеграл от следа матрицы системы ограничен снизу, т. е.

где а — постоянная, то система (3.9.1) с помощью преобразования Ляпунова может быть преобразована в систему с нулевой матрицей.

Доказательство (см. [12]). Пусть фундаментальная матрица системы (3.9.1). Покажем, что есть матрица Ляпунова. Действительно, очевидно, Далее, на основании условия 1) имеем

где с и С — некоторые положительные постоянные. Кроме того, используя формулу Остроградского — Лиувилля (гл. II, § 3)

в силу условия (2) получаем

при где постоянная. Таким образом, матрица Ляпунова.

В уравнении (3.9.1) положим

тогда

или так как

то

Так как неособенная матрица, то, умножая на обе части уравнения (3.9.5), окончательно будем иметь

Теорема доказана.

Следствие. Если матрица системы (3.9.1) абсолютно интегрируема, т. е.

то эта система приводима к системе с нулевой матрицей. Действительно, из уравнения (3.9.1) при имеем

Отсюда

Используя лемму Гронуолла-Беллмана (гл. II, § 10) и условие (3.9.6), получаем

Следовательно, все решения системы (3.9.1) ограничены в промежутке

Кроме того, если то, очевидно, имеем

Отсюда

Таким образом, все условия теоремы выполнены и система приводима к системе с нулевой матрицей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление