Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Асимптотически эквивалентные системы

Определение. Будем говорить, что дифференциальные системы

и

асимптотически эквивалентны, если между решениями их и можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что

Укажем простой признак асимптотической эквивалентности линейных дифференциальных систем.

Теорема Левинсона (см. [23]). Пусть решения системы

где -постоянная -матрица, ограничены на Тогда система

где

асимптотически эквивалентна системе (3.10.4).

Доказательство. Изложим доказательство, идея которого принадлежит Брауеру [24]. Прежде всего, так как решения системы (3.10.4) ограничены, то характеристические корни матрицы А удовлетворяют неравенству

причем характеристические корни с нулевыми вещественными частями имеют простые элементарные делители (см. гл. II, § 8).

Без нарушения общности рассуждения мы предположим, что матрица А имеет квазидиагональный вид

где соответственно, -матрицы такие, что

Действительно, в случае надобности этого можно добиться с помощью неособенных преобразований

где постоянная -матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми Кроме того, из предельного соотношения при очевидно, вытекает предельное соотношение при Пусть

— фундаментальная матрица системы (3.10.4), нормированная в нуле: и

где единичные матрицы соответствующих порядков при этом, очевидно, Положим

где

и

Отсюда матрицу Коши

можно представить в виде

причем на основании условий (3.10.8) имеем

и

где некоторые положительные постоянные.

Используя метод вариации произвольных постоянных (гл. дифференциальное уравнение (3.10.5) можно записать в интегральной форме

где произвольно. Ввиду абсолютной интегрируемости матрицы на все решения системы (3.10.5) ограничены на (гл. II, § 12), и поэтому несобственный интеграл является сходящимся. Отсюда, учитывая, что

наше интегральное уравнение можно представить в виде

Решению системы (3.10.5) с начальным условием сопоставим решение системы (3.10.4) с начальным условием

Так как решения и полностью определяются своими начальными условиями, то формула (3.10.12) устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений системы (3.10.5) и множеством решений (или его частью)

системы (3.10.4). Заметим, что соотношение (3.10.12) непрерывно относительно начального значения

2) Покажем, что соответствие между решениями определяемое формулой (3.10.12), является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений

Пусть фундаментальная матрица системы (3.10.5) такая, что Имеем

Отсюда на основании метода вариации произвольных постоянных получим

Но из неравенств (3.10.9) и (3.10.10) вытекает

поэтому

следовательно, в силу леммы Гронуолла — Беллмана (гл. II,

§ 11) находим

причем постоянная в оценке (3.10.13) не зависит от выбора начального момента Очевидно, имеем

Поэтому из формулы (3.10.12) получаем

где

причем на основании (3.10.10) и (3.10.13) выводим

Так как матрица абсолютно интегрируема на то

к, следовательно, в силу (3.10.15) начальный момент можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство

В дальнейшем будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства (3.10.16). Отсюда и из формулы (3.10.14) выводим

Так как формулы (3.10.14) и (3.10.17) равносильны, то для каждого решения системы (3.10.4) с начальным условием найдется одно и только одно решение системы (3.10.5), отвечающее установленному выше соответствию, а именно, это решение, начальное условие которого определяется формулой (3.10.17). Соответствие между решениями и устанавливаемое формулами (3.10.14) и (3.10.17), -взаимно однозначное, т. е. каждому решению соответствует одно и только одно решение и обратно. Отметим, что тривиальному решению соответствует тривиальное решение и в силу линейности соотношений (3.10.14) и (3.10.17) различным решениям системы (3.10.5) соответствуют различные решения системы (3.10.4) и наоборот.

3) Для соответствующих решений и оценим норму их разности. Так как, очевидно,

где определяется формулой (3.10.12), то из формулы (3.10.11) имеем

Отсюда, учитывая, что

на основании оценок (3.10.9) и (3.10.10) при получаем

Ввиду абсолютной интегрируемости матрицы при имеем

если Следовательно,

Таким образом, из неравенства (3.10.18) выводим

т.е. системы (3.10.4) и (3.10.5) асимптотически эквивалентны.

Замечание. Если то следовательно, . В этом случае теорема тривиальна. Следствие. Пусть

где абсолютно интегрируема на Тогда для каждого решения существует

все интегральные кривые имеют горизонтальные асимптоты (рис. 20), причем различные интегральные кривые имеют различные горизонтальные, асимптоты сверх того, для каждой горизонтальной прямой существует интегральная кривая имеющая эту прямую своей асимптотой.

Рис. 20.

Действительно, в силу теоремы система (3.10.19) асимптотически эквивалентна системе

с матрицей Так как система (3.10.21) имеет решения

то отсюда вытекает предельное соотношение (3.10.20).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление