Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Правильные системы

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

с ограниченной действительной непрерывной матрицей

Пусть

— сумма характеристических показателей (с учетом их кратностей решений системы (3.11.1), входящих в некоторую ее нормальную фундаментальную систему.

Определение. Действительная линейная система называется правильной по Ляпунову (см. [13]), если сумма характеристических показателей ее совпадает с нижним пределом среднего значения следа матрицы системы, т. е. если имеет место равенство

Замечание. Если матрица комплексная, то условие правильности линейной системы записывается следующим образом:

Лемма. Линейная дифференциальная система (3.11.1) является правильной тогда и только тогда, когда 1) существует предел среднего значения вещественной части следа матрицы системы

2) выполнено равенство Ляпунова

Достаточность леммы очевидна. Докажем необходимость ее.

Действительно, если система правильная и

то, используя формулу (3.11.3) и неравенство Ляпунова (§ 7), имеем

С другой стороны, очевидно,

Отсюда получаем

что и доказывает лемму.

Связь между правильными и приводимыми системами установлена Ляпуновым.

Теорема. Всякая приводимая линейная дифференциальная система является правильной.

Доказательство. Пусть система (3.11.1) приводима (§ 8) и ее нормальная фундаментальная матрица. Согласно определению приводимости существует матрица Ляпунова такая, что

где фундаментальная матрица некоторой системы

с постоянной матрицей В. Из соотношения (3.11.6) имеем

Используя формулу Остроградского — Лиувилля (гл. II, § 3), получим

Отсюда

где

т. е.

Следовательно,

Так как есть величина, ограниченная на промежутке то из формулы (3.11.7) вытекает, что существует предел

Кроме того, пусть суммы характеристических показателей решений фундаментальных матриц соответственно. Так как при преобразовании Ляпунова характеристические показатели сохраняются, то, очевидно, имеем

причем, если матрица X нормальная, то матрица также нормальная. Но для нормальной матрицы характеристическими

показателями являются вещественные части корней векового уравнения

где каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность. Поэтому

Таким образом, справедливо равенство Ляпунова

и, значит, на основании леммы система (3.10.2) правильная.

Замечание. Если матрица действительная, то матрицы и В можно полагать также действительными.

Покажем на примере, что правильная система может быть неприводимой.

Пример. Скалярное уравнение

является правильным в смысле определения этого параграфа, так как общее решение его есть

и при имеем

Однако это уравнение не будет приводимым, так как его общее решение (3.11.10) не имеет вида, предписываемого теоремой Еругина (§ 8).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление