Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Теорема Перрона

Пусть

— линейная система с действительной или комплексной непрерывной матрицей

Определение. Система

где эрмитово-сопряженная матрица для называется сопряженной для системы (3.12.1). Если матрица

действительная, то следовательно, для действительной системы (3.12.1) ее сопряженная система имеет вид

Очевидно, систему (3.12.1) можно рассматривать как сопряженную для системы (3.12.2), т. е. системы (3.12.1) и взаимно сопряженные.

Лемма. Для любых решений х и у взаимно сопряженных систем (3.12.1) и (3.12.2) справедливо тождество

где у — эрмитово-сопряженный вектор для — некоторая постоянная.

Аналогично для фундаментальных матриц решений этих систем имеет место соотношение

где эрмитово-сопряженная матрица для постоянная матрица.

Обратно, если выполнено соотношение (3.12.4), где С — неособенная постоянная матрица — фундаментальная матрица системы (3.12.1), то есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2).

Доказательство. 1) Пусть вектор-столбец

является решением системы (3.12.2). Тогда вектор-строка

очевидно, есть решение системы

Из уравнений (3.12.2) и (3.12.5) получаем

и

Складывая последние равенства, будем иметь

или

Следовательно,

2) Так как фундаментальные матрицы удовлетворяют уравнениям

и

то аналогично доказанному выше имеем тождество (3.12.4).

3) Пусть справедливо тождество (3.12.4). Тогда

где X удовлетворяет дифференциальному уравнению

Из формулы (3.12.8), используя формулу для производной обратной матрицы (гл. I, § 7), имеем

причем

Следовательно, У есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2) (гл. I, § 2).

Теорема Перрона (см. [25], [14]). Для правильности линейной однородной дифференциальной системы необходимо и достаточно, чтобы полный спектр данной системы

и полный спектр ее сопряженной системы

были бы симметричны относительно нуля, т. е. должны иметь место равенства

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть система (3.12.1) правильная и ее нормальная фундамецтальная матрица, состоящая из решений

таких, что

где числа удовлетворяют неравенствам (3.12.10). Тогда в силу леммы

является фундаментальной матрицей решений сопряженной системы (3.12.2). Пусть, далее,

где

Из формулы (3.12.13) вытекает, что

Отсюда на основании правила умножения матриц будем иметь

Воспользовавшись теперь теоремой о характеристическом показателе произведения двух матриц (§ 2), находим

т. е.

С другой стороны, если алгебраическое дополнение элемента определителя то на основании известного правила обращения матрицы получаем

где

Отсюда

Очевидно,

Далее, так как система (3.12.1) правильная, то выполнено равенство Ляпунова

и поэтому

Наконец, учитывая, что при составлении алгебраического дополнения вычеркивается столбец, содержащий координаты решения будем иметь

Таким образом,

следовательно,

т. е.

Сопоставляя эти неравенства с неравенствами (3.12.15), получаем

Остается показать, что фундаментальная матрица нормальная и, следовательно, числа реализуют весь спектр сопряженной системы. Действительно, на основании равенств (3.12.17) имеем

Таким образом, для фундаментальной матрицы сопряженной системы (3.12.2) выполнено равенство Ляпунова и, следовательно, эта матрица нормальная (§ 7).

2) Докажем теперь достаточность условий теоремы. Пусть (3.12.10) и (3.12.11) — спектры сопряженных систем и выполнены равенства (3.12.12).

На основании неравенства Ляпунова имеем

и

Складывая последние неравенства, в силу неравенства (3.12.12) получим

Но так как, очевидно,

то

Следовательно, существует предел

Кроме того, выполнено равенство

Действительно, если бы

то, учитывая, что

мы бы имели

что, очевидно, невозможно.

Таким образом, на основании леммы из § 11 система (3.11.1) правильная.

Теорема доказана.

Следствие 1. Сопряженная система для правильной линейной системы есть также правильная линейная система.

Следствие 2. Если система (3.11.1) — правильная и ее нормальная фундаментальная матрица, то

есть нормальная фундаментальная матрица сопряженной системы (3.11.2).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление