Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Правильность треугольной линейной системы

В этом параграфе будет исследована дифференциальная система с ограниченной треугольной матрицей. Не уменьшая общности, можно ограничиться рассмотрением системы с нижней треугольной матрицей.

Положим где при

Теорема Ляпунова. Действительная треугольная однородная линейная система с ограниченными коэффициентами является правильной тогда и только тогда, когда ее диагональные коэффициенты имеют конечные средние значения

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть система (3.13.1) правильная. Положим

и

и пусть

Введем сокращенные обозначения

Последовательно интегрируя уравнения системы (3.13.1), убеждаемся, что эта система имеет нормированную фундаментальную систему вида

где Умножая справа матрицу на подходящую постоянную матрицу

можно получить нормальную фундаментальную матрицу (см. § 4)

причем, очевидно,

Транспонированная обратная матрица

является нормальной фундаментальной матрицей для сопряженной системы

Нетрудно видеть, что

Пусть

и

где в силу теоремы Перрона (§ 12)

Так как в состав решения входит координата то

Аналогично в силу формулы (3.13.4) имеем

Складывая равенства (3.12.6) и (3.12.7) и учитывая формулу (3.12.5), получим

т. е.

где

что и требовалось доказать.

2) Докажем теперь достаточность условий теоремы. Предположим, что условия (3.12.2) выполнены.

Пусть система функций таких, что

где

и

Очевидно,

Так как

то система функций отличается от фундаментальной системы тем, что к входящим в нее интегралам прибавлены некоторые постоянные. Поэтому является также фундаментальной матрицей нашей дифференциальной системы (3.12.1). Отсюда следует, что

где

- постоянная матрица. Имеем

Далее, по индукции выводим, если

то из формул (3.13.8), используя теорему о характеристическом показателе интеграла и ее следствие (§ 1), получаем

Следовательно,

Отсюда, полагая

в силу неравенства Ляпунова получим

т. е.

Таким образом, построенная фундаментальная система нормальная, а значит, система (3.13.1) правильная.

Следствие. Если система (3.13.1) с действительной ограниченной треугольной матрицей правильная, то средние значения ее диагональных коэффициентов дают спектр этой системы, т. е.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление