Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Теорема Перрона о триангуляции линейной системы

Пусть

— однородная система, где . Рассмотрим фундаментальную матрицу элементы которой, вообще говоря, комплексные.

Лемма. Всякую фундаментальную матрицу можно представить в виде произведения непрерывно дифференцируемых унитарной матрицы и верхней треугольной матрицы с положительными диагональными, элементами, т. е.

где

Доказательство. Для доказательства применим известный метод ортогонализации Шмидта. Пусть

— решения, входящие в фундаментальную матрицу

Положим

Так как решения линейно независимы, то приведенная конструкция всегда возможна. Нетрудно проверить, что вектор-функции образуют ортонормированную систему

Из соотношений (3.14.3) получаем

Следовательно,

где

и

Пусть

— эрмитово-сопряженная матрица для Учитывая соотношения (3.14.4), имеем

Таким образом, матрица унитарная. Кроме того, из вида треугольной матрицы непосредственно вытекает, что ее диагональные элементы положительны: Очевидно,

Лемма доказана.

Замечание. Если матрица вещественная, то матрица действительная и ортогональная, а треугольная матрица действительная.

Теорема Перрона (см. [26]). Всякую линейную однородную систему (3.14.1) с помощью унитарного преобразования можно привести к системе с верхней треугольной матрицей, диагональные коэффициенты которой вещественны:

где

Если матрица ограничена на то треугольные матрицы и также ограничены на

Доказательство. Для доказательства используем способ Винограда (см. [27]). Положим

где унитарная матрица, определяемая формулой (3.14.2). Имеем

Следовательно, система (3.14.1) примет вид

где

С другой стороны, на основании формулы (3.14.6) для фундаментальной матрицы однородной системы (3.14.1) имеем

где фундаментальная матрица системы (3.14.7), т. е.

Сопоставляя формулы (3.14.2) и (3.14.8), находим

где верхняя треугольная матрица. Из формулы (3.14.9), учитывая, что производная и обратная матрицы треугольной суть также треугольные матрицы того же типа, выводим:

где верхняя треугольная матрица. Так как

(см. лемму), то из формулы (3.14.10) следует вещественность диагональных коэффициентов

Выразим теперь матрицу через матрицу Прежде всего, заметим, что матрица эрмитово-кососимметрическая. Действительно, учитывая унитарность матрицы имеем

Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы чисто мнимые. Пусть

Так как матрица верхняя треугольная с вещественной диагональю, то, полагая из формулы (3.14.7) будем иметь

Следовательно,

Если матрица ограничена, то матрица очевидно, также ограничена; отсюда на основании формул (3.14.12) и (3.14.13) вытекает ограниченность матриц и

Замечание. Если матрица действительная, то матрицу можно выбрать действительной и ортогональной.

Следствие 1. Если система (3.14.1) правильная, то треугольная система (3.14.5) также правильная.

Действительно, пусть спектр системы (3.14.1) и

Из формулы (3.14.7) получаем

Отсюда, учитывая, что при унитарном преобразовании характеристические числа решений сохраняются, будем иметь

что и доказывает правильность системы (3.14.7).

Следствие 2. Если линейная система (3.14.1) правильная, то для каждого ее нетривиального решения существует строгий характеристический показатель ([26])

Пусть решение включено в фундаментальную систему Тогда на основании теоремы Ляпунова о правильности треугольной системы (§ 13) и формулы (3.14.11) имеем

Но по способу построения функций (см. лемму)

Следовательно, существует

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление