Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Теория Флоке

Рассмотрим линейную систему

с непрерывной (или кусочно-непрерывной) на периодической матрицей

Теорема Флоке. Для линейной системы (3.15.1) с -периодической матрицей нормированная при t = 0 фундаментальная матрица решений (матрицант) имеет вид

где класса (или кусочно-гладкая) -периодическая неособенная матрица, причем постоянная матрица.

Доказательство (см. также [28]). Пусть нормированная фундаментальная матрица решений системы (3.15.1), где

Матрица также является фундаментальной. Действительно, на основании тождества

имеем

Следовательно, есть фундаментальная матрица решений для системы (3.15.1). Отсюда получаем

где С — постоянная неособенная матрица. Полагая в тождестве (3.15.5) и учитывая условие (3.15.4), находим

Таким образом,

Матрица носит название матрицы монодромии. Очевидно,

Положим

отсюда

Напишем тождество

где

Имеем

Отсюда, учитывая (3.15.6) и (3.15.8), получаем

т. е. матрица периодическая с периодом Кроме того, если то из (3.15.9) выводим

причем

Теорема доказана. Замечание. Матрицы

и

вообще говоря, комплексные. Можно ограничиться действительными преобразованиями, если воспользоваться матрицей

Однако при этом рассуждения значительно усложняются (см. [28]).

Собственные значения матрицы т. е. корпи векового уравнения

называются характеристическими показателями системы (3.15.1). Отметим, что матрица не является строго определенной, так как значение многозначно (гл. 1, § 15).

Во избежание недоразумений следует иметь в виду, что характеристические показатели линейной периодической системы

не идентичны с характеристическими показателями Ляпунова нетривиальных решений этой системы: первые, вообще говоря, являются комплексными числами, а вторые — действительными числами, представляющими вещественные части первых.

Собственные значения матрицы т. е. корни векового уравнения (характеристического уравнения)

называются мультипликаторами. Из формулы (3.15.10) выводим.

и

Так как то Из формулы (3.15.7) на основании известных свойств собственных значений логарифма матрицы (см. замечание 2 к теореме § 15 гл. I) получаем

где целое число подбирается надлежащим образом. Поэтому характеристические показатели определяются с точностью до мнимых слагаемых

Обобщение. Нетрудно получить более общие формулы для матричного решения линейной периодической системы (3.15.1). Пусть нормированная фундаментальная матрица системы (3.15.1) и произвольная фундаментальная матрица той же системы.

Очевидно, имеем

Так как снова является решением периодической системы (3.15.1), то справедливо тождество

где — постоянная матрица. Отсюда, полагая получим

Матрицу подобную матрице монодромии будем называть основной для матрицы Положим

и

Конкретизируя выбор нетрудно убедиться, что можно взять

Действительно, используя известное свойство экспоненциала матрицы (гл. I, § 6), имеем

Из формулы (3.15.12) имеем

Применяя основную формулу (3.15.3), получаем

Таким образом,

где - периодическая матрица и

Теорема. Для всякого мультипликатора (множителя) существует нетривиальное решение периодической системы (3.15.1), удовлетворяющее условию

(так называемое нормальное решение).

Обратно, если для некоторого нетривиального решения выполнено условие (3.15.14), то число является мультипликатором данной системы.

Доказательство (см. [29]). 1) В качестве начального вектора выберем собственный вектор матрицы монодромии отвечающий собственному значению Имеем

и

Отсюда

следовательно, условие (3.15.14) выполнено.

2) Обратно, пусть для некоторого нетривиального решения выполнено условие (3.15.14). Тогда, положив из (3.15.14) получим

т. е.

Таким образом, является собственным вектором матрицы монодромии , а число есть корень векового уравнения

и, значит, — мультипликатор.

Следствие. Линейная периодическая система (3.15.1) имеет нетривиальное решение периода тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из мультипликаторов ее равен единице.

Действительно, если то для некоторого решения имеет место соотношение

и, следовательно, -периодическое решение системы (3.15.1).

Обратно, из тождества (3.15.15) вытекает, что существует мультипликатор равный единице.

Замечание 1. Полагая

и

из формулы (3.15.14) будем иметь

т. е.

Следовательно, нормальное решение периодической системы имеет вид (3.15.16), где — периодическая вектор-функция класса и

— характеристический показатель системы,

Замечание 2. Мультипликатору если он существует, соответствует так называемое антипериодическое решение периода, т. е.

Отсюда имеем

и, таким образом, есть периодическое решение с периодом

Аналогично, если целые; то периодическая система имеет периодическое решение с периодом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление