Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Приводимость периодической линейной системы

Теорема Ляпунова. Линейная система с непрерывной периодической матрицей приводима.

Доказательство. Согласно формуле (3.15.3) нормированная матрица решений периодической системы (3.15.1) имеет вид

где причем

В силу периодичности и ограничены на Кроме того, так как

и неособенная матрица, то также неособенная матрица. Учитывая периодичность получим

при

Следовательно, есть матрица Ляпунова. В силу теоремы Еругина (§ 5) периодическая система (3.15.1) приводима.

Замечание. Производя в уравнении (3.15.1) замену переменных

получим

Таким образом, характеристические показатели являются корнями векового уравнения матрицы системы (3.16.1).

Отсюда имеем следующие условия устойчивости периодической системы (ср. § 8).

Теорема, 1) Линейная однородная периодическая система с непрерывной матрицей устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы ррасположены внутри замкнутого единичного круга причем мультипликаторы, лежащие на окружности имеют простые элементарные делители, если их рассматривать как собственные значения соответствующей матрицы монодромии.

2) Для асимптотической устойчивости периодической системы необходимо и достаточно, чтобы все мультипликаторы ее находились внутри единичного круга

Действительно, так как характеристические показатели связаны с мультипликаторами соотношениями (см. § 15)

то при

имеем Отсюда непосредственно вытекает наша теорема.

Для определения области асимптотической устойчивости выведем условия (см. [14]), обеспечивающие принадлежность корней полинома

единичному кругу предполагая, что матрица действительная.

Рис. 21.

Нетрудно проверить, что дробно-линейное преобразование

единичный круг плоскости переводит в левую полуплоскость плоскости X (рис. 21, а, б). Таким

образом, уравнение (3.16.2) заменяется следующим:

или

где полином должен быть полиномом Гурвица (гл. II, § 9), причем знак в формуле (3.16.3) нужно выбрать так, чтобы полином был стандартным, т. е. должно быть

Рис. 22.

Пример. При каком условии корни полинома

( действительны) лежат внутри круга

Положим

Так как должен быть полиномом Гурвица, то отсюда получаем искомые условия:

Вторая система неравенств противоречива и, следовательно, окончательно имеем (рис. 22)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление