Главная > Разное > Лекции по математической теории устойчивости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Нормальная форма решений линейной периодической системы

Согласно теории Флоке для -периодической системы (3.15.1) существует фундаментальная матрица вида

где - периодическая матрица и постоянная матрица. Пусть характеристические показатели системы, т. е. собственные значения матрицы Приведем матрицу А к канонической форме Жордана

где неособенная постоянная матрица и соответствующие клетки Жордана. Из формулы (3.17.1) получаем

Так как произведение фундаментальной матрицы на неособенную постоянную матрицу есть также фундаментальная матрица, то периодическая система (3.15.1) допускает фундаментальную матрицу вида

где

— неособенная непрерывная матрица периода

Пусть Полагая

где

и

получим соответствующие корню частные решения;

Систему решений можно записать более просто.

Пусть

и

Обозначим через операцию дифференцирования по при условии, что постоянные, т. е.

Тогда группу частных решений, соответствующих клетке Жордана можно записать следующим образом (ср. [14]):

где матричный полином типа от степени коэффициенты которого -периодические матрицы-столбцы.

Аналогичную форму имеют группы частных решений, соответствующие остальным клеткам Жордана

Из формулы (3.17.5) вытекает, что для каждого характеристического показателя X однородной периодической системы существует ее нормальное решение вида

где — непрерывно дифференцируемая -периодическая вектор-функция.

В частности, если все мультипликаторы периодической системы простые, то существует ее фундаментальная система нормальных решений, имеющая вид

где непрерывно дифференцируемые -периодические вектор-функции и

Пример. Рассмотрим скалярное уравнение

где непрерывные -периодические функции. Полагая получим линейную периодическую систему

Пусть мультипликаторы системы (3.17.7) и

Так как

то можно принять

Если или же но им отвечают простые элементарные делители, то уравнение (3.17.6) будет иметь фундаментальную систему решений:

где и — непрерывно дифференцируемые -периодические функции.

Если и соответствующий элементарный делитель не является простым, то уравнение (3.17.6) допускает фундаментальную систему решений:

где и -периодические функции класса и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление